ここでは、制御工学でよく使う入力関数のラプラス変換について解説します。

　次のような式で表される関数を単位ステップ関数（Unit step function）といいます。 \[ \begin{eqnarray} u(x) = \begin{cases} 1 & ( t \gt 0 ) \\ 0 & ( t \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}\]

単位ステップ関数をラプラス変換すると、ラプラス変換の定義式 $F(s) = \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st} f(t)dt$ から となります。単位ステップ関数のラプラス変換が $f(t) = 1$ と同じであることに気づいた方もいるかもしれません。これは、ラプラス変換の定義式の積分区間が、$0 \leqq t \lt \infty$ となるので、単位ステップ関数 $u(t)$ の $t \gt 0$ の範囲、つまり $u(t) = 1$ のみに依存するためです。

　次のような式で表される関数を単位インパルス関数（Unit impulse function）といいます。 \[ \begin{eqnarray} \delta(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{\varepsilon} & ( 0 \leqq t \leqq \varepsilon ) \\ 0 & ( t \lt 0, \varepsilon \lt t ) \end{cases} \end{eqnarray}\]

この関数は、物理的には1点に加えた衝撃力などのように、比較的に継続時間が短い入力を表します。衝撃力と考えれば、 $\varepsilon$ は衝撃の継続時間で、その大きさが $\dfrac{1}{\varepsilon}$ になると考えることができます。単位インパルス関数をラプラス変換すると、次のようになります。 しかし、これで完了ではありません。ここで、ディラックのデルタ関数というものについて考えます。ディラックのデルタ関数（または単にデルタ関数）は以下のように定義されます。 \[ \begin{eqnarray} \delta(t) = \begin{cases} \infty & ( t = 0 ) \\ 0 & ( t \neq 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}\]

デルタ関数は、時間 $t$ の瞬間に $\infty$ の大きさの衝撃が発生したようなものと考えられます（実際には無限大の衝撃力は存在しませんが）。また、デルタ関数は単位インパルス関数の継続時間 $\varepsilon$ を限りなく小さく、その大きさ $\dfrac{1}{\varepsilon}$ を 継続時間に対して限りなく大きくし、$\delta(t)$ の面積は $1$ のまま、としたものです。 そのため、デルタ関数のラプラス変換は $\dfrac{1 - e^{-s \varepsilon}}{s \varepsilon}$ の $\varepsilon \rightarrow 0$ の極限をとり となります。これで単位インパルス関数のラプラス変換が $L[\delta(t)] = 1$ となることがわかりました。

　次のような式で表される関数をランプ関数（Ramp function）といいます。 \[r(t) = t\] 制御工学について、さらに詳しく学びたい方には、以下の本がおすすめです（楽天サイトにとびます）。

　前章　システムの要素　で、システムの入出力関係が、以下のような式で表されることを示しました。 \[伝達関数 G(s) = \dfrac{出力のラプラス変換 Y(s)}{入力のラプラス変換 U(s)}\] この式は、次のように変形できます。 $Y(s) = G(s) U(s)$ これは、出力 $Y(s)$ が、入力 $U(s)$ と伝達関数 $G(s)$ の積で表せるということを示しています。そして、この式を逆ラプラス変換することで、以下のように、ある入力 $u(t)$ に対するシステムの出力 $y(t)$ を算出することができます。 $y(t) = L^{-1}[G(s) U(s)]$ 入力が単位インパルス関数のとき、その応答をインパルス応答といいます。インパルス応答を求めるときは、入力 $U(s)$ に $ 1　( = L[\delta (t)])$ を代入します。 また、入力が単位ステップ入力のときの応答をステップ応答、または、インディシアル応答といいます。ステップ応答を求めるときは、入力 $U(s)$ に $\dfrac{1}{s}$ を代入します。 ここからは、積分要素、1次遅れ要素、2次遅れ要素のシステムについて、各入力に対する応答を求めてみます。

　前章　システムの要素　で、積分要素の伝達関数が $G(s) = \dfrac{V(s)}{U(s)} = \dfrac{K}{s}$ となることは、すでに解説しました。この式を変形して出力を左辺に持ってくると $V(s) = \dfrac{K}{s} U(s)$ となります。この式から、積分要素のインパルス応答を求めるには、入力 $U(s)$ に $1$ を代入して両辺を逆ラプラス変換します。 $v(t) = L^{-1} \left[\dfrac{K}{s} \cdot 1 \right] = K$ 積分要素のインパルス応答は $K$ （ゲイン定数）になることが分かりました。インパルス応答は、$L^{-1}[G(s) \cdot 1] = L^{-1}[G(s)]$ という風に、伝達関数 $G(s)$ の逆ラプラス変換になります。そのため、インパルス応答は特別に $g(t) = L^{-1}[G(s)]$ と表されることもあります。 　次に、ステップ応答を求めてみましょう。ステップ応答を求めるには、入力 $U(s)$ に $\dfrac{1}{s}$ を代入して両辺を逆ラプラス変換します。 $v(t) = L^{-1} \left[\dfrac{K}{s} \cdot \dfrac{1}{s} \right] = L^{-1} \left[\dfrac{K}{s^2} \right] = Kt$ 積分要素のインパルス応答とステップ応答を、グラフに表してみます。

　前章　システムの要素　で、1次遅れ要素の伝達関数が $G(s) = \dfrac{V(s)}{U(s)} = \dfrac{K}{Ts + 1}$ となることは、すでに解説しました。この式を変形して出力を左辺に持ってくると $V(s) = \dfrac{K}{Ts + 1} U(s)$ となります。この式から、1次遅れ要素のインパルス応答を求めるには、入力 $U(s)$ に $1$ を代入して両辺を逆ラプラス変換します。 上式からもわかる通り、1次遅れ要素のインパルス応答は、時間 $t$ とともに減衰していきます。1次遅れ要素のインパルス応答を、グラフに表してみます。

　次に、ステップ応答を求めてみましょう。ステップ応答を求めるには、入力 $U(s)$ に $\dfrac{1}{s}$ を代入して両辺を逆ラプラス変換します。 $v(t) = L^{-1} \left[\dfrac{K}{Ts + 1} \cdot \dfrac{1}{s} \right] = L^{-1} \left[\dfrac{K}{s(Ts + 1)} \right]$ ここで、$\dfrac{K}{Ts + 1}$ は、 $\dfrac{K}{s} - \dfrac{K}{s + \frac{1}{T}}$ に部分分数展開できるので、逆ラプラス変換の線形性から、次のように変形できます。 上式からもわかる通り、1次遅れ要素のステップ応答は、時間 $t$ とともに増加しますが、一定時間経過後に一定値 $K = \dfrac{1}{c}$ に収束していきます。1次遅れ要素のステップ応答を、グラフに表してみます。

　前章　システムの要素　で、2次遅れ要素の伝達関数が $G(s) = \dfrac{V(s)}{U(s)} = \dfrac{K \omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n}s + \omega_{n}^2}$ となることは、すでに解説しました。この式を変形して出力を左辺に持ってくると $V(s) = \dfrac{K \omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n}s + \omega_{n}^2} U(s)$ となります。この式から、2次遅れ要素のインパルス応答を求めるには、入力 $U(s)$ に $1$ を代入して両辺を逆ラプラス変換します。今回は、 $K = 1$ として計算を進めます。 $v(s) = L^{-1} \left[\dfrac{ \omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n}s + \omega_{n}^2} \right]$ 積分要素や1次遅れ要素に比べて式が複雑になっていますね。ここで、この式の伝達関数の分母を $0$ とおいた方程式を考えます。 $s^2 + 2 \zeta \omega_{n}s + \omega_{n}^2 = 0$ これを特性方程式といいます。この式の特性根を $\lambda_{1}$、$\lambda_{2}$ とおくと、２次関数の解の方程式より、 となります。最終的な式を見るとわかる通り、特性根 $\lambda_{1}$ と $\lambda_{2}$ は、$\zeta$ の取る値の範囲によって、以下のように場合分けできます。 では、それぞれの場合について、先ほどの伝達関数 $G(s) = \dfrac{ \omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n}s + \omega_{n}^2}$ がどのようになるか、詳しく解説していきます。

１）相異なる実根となる場合　$\zeta \gt 1$

相異なる実根となるということは、伝達関数は以下のように部分分数展開できます。 簡単に表現するために、部分分数展開された後のそれぞれの分子を $k_{1}, k_{2}$ と表しています。では、$k_{1}, k_{2}$ がどのような式になるか調べてみましょう。 上の式の $s$ の係数を比較すると、次のような連立方程式が立てられます。 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k_{1} + k_{2} = 0 　\cdots　①\\ - k_{1} \lambda_{2} - k_{2} \lambda_{1} = \omega^2　　\cdots　② \end{array} \right. \end{eqnarray}$ この式から、$k_{1}$ と $k_{2}$ の式を求めていきます。 $\lambda_{1}, \lambda_{2} = (-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n}$ だったので、これらを式②に代入すると、 $k_{1}(\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n} + k_{2}(\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n} = \omega_{n}^2$ となります。ここで、式①から $k_{2} = -k_{1}$ となるので、これを上の式に代入して $k_{1}(\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n} - k_{1}(\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n} = \omega_{n}^2$ この式を整理すると、 $k_{1} = \dfrac{\omega_{n}}{2 \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ となります。また、$k_{2} = -k_{1}$ であることから、 $k_{2} = - \dfrac{\omega_{n}}{2 \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ となることもわかりますね。これで、$k_{1}$ と $k_{2}$ が求まりました。これらを使って、2次遅れ要素のインパルス応答を求めると、次のようになります。 $k_{1}$、 $k_{2}$、 $\lambda_{1}$、 $\lambda_{2}$ に代入すると、 これで、 $\zeta \gt 1$ の時のインパルス応答の式が求まりました。

２）重根となる場合　$\zeta = 1$

$\zeta = 1$ となるとき、これを $\lambda_{1}, \lambda_{2} = (-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_{n}$ に代入すると $\lambda_{1}, \lambda_{2} = (-1 \pm \sqrt{1 - 1}) \omega_{n} = -\omega_{n}$ となります。これを $G(s)$ に代入すると、 伝達関数が求まったので、ここから $\zeta = 1$ のときのインパルス応答を求めると ここで、 $\dfrac{1}{(s + a)^2}$ の逆ラプラス変換は、 $te^{-at}$ となるので $g(t) = \omega_{n}^2 te^{-\omega_{n}t}$ となります。

３）共役な複素数となる場合　$0 \leqq \zeta \lt 1$

$\zeta \gt 1$ のときのインパルス応答は、上で導出した通り、以下のように表されました。 これを使って、$0 \leqq \zeta \lt 1$ のときのインパルス応答を求めたいのですが、$0 \leqq \zeta \lt 1$ の場合、 $\sqrt{\zeta^2 - 1}$ のルートの中はマイナスになるので、$\sqrt{\zeta^2 - 1} = j \sqrt{1 - \zeta^2}$ となります。なので、上式の $\sqrt{\zeta^2 - 1}$ を $j \sqrt{1 - \zeta^2}$ に置き換えると、 ここで、オイラーの公式 $e^{\pm j \theta} = \cos \theta \pm \sin \theta$ を使って式を式を変形します。オイラーの公式から、 $e^{j \theta} - e^{-j \theta} = 2j \sin \theta$ となるので、 となります。 　お疲れ様でした。やっと、2次遅れ要素のインパルス応答のすべての式が求まりました。1次遅れ要素と比べると、かなり大変だったと思います。 　では、2次遅れ要素のインパルス応答を、グラフに表してみます。1つ目のグラフは、 固有振動数を $\omega_{n} = 1.0$ で固定して、減衰比 $\zeta$ の値をいくつか変えてグラフを比較しています。2つ目のグラフは、 $\zeta = 0.8$ で固定して、 $\omega_{n}$ の値を変えてグラフを比較しています。