円の方程式
直線と同じように円も数学の方程式で表すことができます。 円の方程式は \[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 (中心C(a,b), 半径r\] となります。 では、この式の説明をしましょう。 Follow @spacediracまず、中心C(a, b)は決まった点です。次に、動点P(x, y)は円周上を動くものとします。すると、下の図のようになります。
xy平面上に円が姿を現しました。
この円を見ると、中心Cと動点Pの距離CPは、半径 $$$r$$$ になることが分かります。
さらに、CとPの二点間の距離は $$$CP = r = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$$$ です。この式の中辺と右辺を2乗すると、
$$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$
円の方程式になります。
ちなみに、中心 $$$C(a, b)$$$ が $$$C(0, 0)$$$ のとき、中心 $$$C(a, b)$$$ がxy平面の原点 $$$(0, 0)$$$ となる円になります。
さらに、もう一つ円の方程式を見てみましょう。
\[x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 (\alpha, \beta, \gamma：定数)\]
これも円の方程式なんです。実はこの式を変換すると$$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$の形になります。
確認してみましょう。
$$$(x^2 + \alpha x) + (y^2 + \beta y) = -\gamma$$$
$$$(x + \dfrac{\alpha}{2})^2 - \dfrac{\alpha^2}{4} + (y + \dfrac{\beta}{2})^2 - \dfrac{\beta^2}{4}= -\gamma$$$
$$$(x + \dfrac{\alpha}{2})^2 + (y + \dfrac{\beta}{2})^2 = -\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4} $$$
ここまできたら、最初に学んだ円の方程式 $$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$ と見比べてみましょう。
まず、左辺を見比べてみると $$$a = -\dfrac{\alpha}{2}$$$ 、 $$$b = -\dfrac{\beta}{2}$$$ になりますね。
つまり、中心 C($$$-\dfrac{\alpha}{2}$$$ , $$$-\dfrac{\beta}{2}$$$)
となります。
次に、右辺を比べてみると、 $$$r^2 = -\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4} \gt 0$$$ です。
なので、$$$半径r = \sqrt{-\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4}} \gt 0$$$になります。