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このサイトを見られている方は、この章の知識は当たり前にあると思います。 が、数学初学者のことも考え、基本的な内容から示していきたいと思います。

円の方程式

直線と同じように円も数学の方程式で表すことができます。 円の方程式は \[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 (中心C(a,b), 半径r\] となります。 では、この式の説明をしましょう。 Follow @spacedirac

まず、中心C(a, b)は決まった点です。次に、動点P(x, y)は円周上を動くものとします。すると、下の図のようになります。 円 xy平面上に円が姿を現しました。 この円を見ると、中心Cと動点Pの距離CPは、半径 $$$r$$$ になることが分かります。 さらに、CとPの二点間の距離は $$$CP = r = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$$$ です。この式の中辺と右辺を2乗すると、  $$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$  円の方程式になります。 ちなみに、中心 $$$C(a, b)$$$ が $$$C(0, 0)$$$ のとき、中心 $$$C(a, b)$$$ がxy平面の原点 $$$(0, 0)$$$ となる円になります。 円 さらに、もう一つ円の方程式を見てみましょう。 \[x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 (\alpha, \beta, \gamma:定数)\] これも円の方程式なんです。実はこの式を変換すると$$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$の形になります。 確認してみましょう。 $$$(x^2 + \alpha x) + (y^2 + \beta y) = -\gamma$$$ $$$(x + \dfrac{\alpha}{2})^2 - \dfrac{\alpha^2}{4} + (y + \dfrac{\beta}{2})^2 - \dfrac{\beta^2}{4}= -\gamma$$$ $$$(x + \dfrac{\alpha}{2})^2 + (y + \dfrac{\beta}{2})^2 = -\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4} $$$ ここまできたら、最初に学んだ円の方程式 $$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$$ と見比べてみましょう。 まず、左辺を見比べてみると $$$a = -\dfrac{\alpha}{2}$$$ 、 $$$b = -\dfrac{\beta}{2}$$$ になりますね。 つまり、中心 C($$$-\dfrac{\alpha}{2}$$$ ,  $$$-\dfrac{\beta}{2}$$$) となります。 次に、右辺を比べてみると、 $$$r^2 = -\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4} \gt 0$$$ です。 なので、$$$半径r = \sqrt{-\gamma + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\beta^2}{4}} \gt 0$$$になります。
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