数学が好き!



Home
Software
Blog
Link

ガンマ関数

ガンマ関数は意外と文系の方でも知っている人が多いのではないでしょうか。 ガンマ関数は $$$\Gamma (\alpha)$$$ というように書かれ、階乗計算と密接に関係した関数です。また、ガンマ関数を使うことで、整数のときに成立している公式を連続変数に拡張することができることがあるのです。 Follow @spacedirac
(この章の内容を動画で見たい方は、このYoutube動画をご覧になってください。)


ガンマ関数$$$\Gamma (\alpha)$$$は以下のように定義されます。 \[\Gamma (\alpha) = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } x^{\alpha - 1} e^{-x} dx  (\alpha > 0)\] また、ガンマ関数の最も基本的な2つの性質を以下に示します。 1) $$$\Gamma (1) = 1 $$$ 2) $$$\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} $$$ さて、本当に上記のようになるか、定義式から計算してみましょう。 1) $$$\Gamma (1) = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } x^{0} e^{-x} dx$$$   $$$\qquad = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-x} dx$$$   $$$\qquad = \displaystyle \lim_{ a \to \infty } \displaystyle \int_{0}^{a} e^{-x} dx$$$   $$$\qquad = \displaystyle \lim_{ a \to \infty } [-e^{-x} ]_0^a $$$   $$$\qquad = 1 $$$ $$$\Gamma (1)$$$が1となることが分かりました。 次の $$$\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} $$$ の計算はなかなか大変なので丁寧に説明していきます。 2) $$$\Gamma (\frac{1}{2}) = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } x^{-\frac{1}{2} e^{-x}} dx$$$ ここで、置換積分にするために、 $$$x = t^2 (t > 0)$$$ とおくと、 $$$dx = 2t dt$$$ となります。積分区間は、$$$x$$$ が $$$0→∞$$$ のとき、$$$t$$$ が $$$0→∞$$$ となります。よって、      $$$\qquad = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } t^{-1} e^{-t^{2}} dt$$$   $$$\qquad = 2\displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-t^{2}} dt$$$ さらに、$$$\displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-t^{2}} dt$$$ について考えます。 これを計算するには、重積分とガウス積分の知識が必要になりますので、知らない人はざっと流し読みしてください。 (ガウス積分について学びたい方は、このYoutube動画をご覧になってください)
$$$I^2 = \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-x^{2}} dx \displaystyle \int_{0}^{ \infty } e^{-y^{2}} dy  (I > 0)$$$とおきます。   $$$\qquad = \displaystyle \lim_{ a \to \infty } [-e^{-x} ]_0^a $$$   $$$\qquad = 1 $$$
To the top