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ベータ関数

ベータ関数はガンマ関数と密接に関係しています。 ガンマ関数 について学びたい方は、このリンクからどうぞ。 Follow @spacedirac

ベータ関数 $$$B(m,n)$$$ は以下のように定義されます。 \[ B(m,n) = \displaystyle \int_{0}^{1} x^{1-x} (1-x)^{n-1} dx    (m>0, n>0) \] この式を見ただけでは、どこにガンマ関数と関係があるのかわからないと思います。 ベータ関数の性質の詳細に調べることでガンマ関数と関係が見えてきます。 では、ベータ関数の性質を表す3つの式を見てみましょう。 1) $$$ B(m,n) = B(n,m)    (m>0, n>0)$$$ 2) $$$ B(m,n) = 2 \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^{2m-1} \theta \cos^{2n-1} \theta d\theta    (m>0, n>0)$$$ 3) $$$ B(m,n) = \dfrac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}    (m>0, n>0)$$$ この3番目の性質から明らかにベータ関数とガンマ関数に関係があることが分かります。 それではガンマ関数の性質を使って、いくつかの計算を行ってみましょう。 $$$ \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 (1-x)^{\dfrac{1}{2}} dx $$$ 回答) この式はベータ関数の定義式に似ています。なので、ベータ関数の定義式の形に書き換えてみましょう。 $$$ \displaystyle \int_{0}^{1} x^{3-1} (1-x)^{\dfrac{3}{2}-1} dx $$$ ベータ関数の定義式に置き換えられましたので、この式は $$$ = B(3, \dfrac{3}{2}) $$$ ということになりますね。ここまでわかれば、ベータ関数の性質の3つ目の式を利用して $$$ = \dfrac{\Gamma(3)\Gamma(\dfrac{3}{2})}{\Gamma(3+\dfrac{3}{2})} $$$ $$$ = \dfrac{\Gamma(3)\Gamma(\dfrac{3}{2})}{\Gamma(\dfrac{9}{2})} $$$ $$$ = \dfrac{2! \dfrac{1}{2} \Gamma(\dfrac{1}{2})}{\dfrac{7}{2} \dfrac{5}{2} \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{2} \Gamma(\dfrac{1}{2})} $$$ $$$ = \dfrac{2 \dfrac{1}{2}}{\dfrac{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}} $$$ $$$ = \dfrac{16}{105} $$$ となります。
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