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偏微分

偏微分なんて難しそうな名前ですが、考え方はほとんど微分と同じです。 決して難しくありません。 これまでに学んできた 常微分 は、関数の変数が 1 つしかない 1 変数関数 に対するものでした。 この微分を 2 変数以上の多変数関数に適用したものが、偏微分です。 偏微分によって得られる微分係数と導関数のことをそれぞれ、偏微分係数偏導関数 といいます。 Follow @spacedirac

さて、偏微分についてもっと詳しく、わかりやすく説明します。 下に $$$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$ のグラフを示します。2変数関数はこのように3次元空間に曲面として図示することができます。 偏微分グラフ この2変数関数を $$$x$$$ について偏微分してみましょう。 $$$x$$$ について偏微分するとき、$$$y$$$ は定数として扱います。 $$$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$ この式を $$$y$$$ を定数として、$$$x$$$ で偏微分すると、 $$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x + y^2$$$ となります。 $$$y$$$ について偏微分するときは $$$x$$$ を定数として偏微分します。 偏微分の表し方は複数あります。関数 $$$z = f(x,y)$$$ を $$$x$$$ で偏微分した偏導関数は、以下のようにな記号で表わされます。 $$$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$$,  $$$f_{x}(x,y)$$$,   $$$\dfrac{\partial f}{\partial x}$$$ ($$$ f(x,y)$$$ を$$$f$$$ と略記した場合),  $$$f_{x}$$$ ($$$ f(x,y)$$$ を$$$f$$$ と略記した場合) ここまでの説明で、偏微分の方法論($$$x$$$ について偏微分するとき $$$y$$$ は定数として扱う)はわかってきたかともうのですが、偏微分がどのようなものかがイメージ出来ていない方もいるかもしれません。 グラフを見ながらビジュアル的にイメージを掴みましょう。 $$$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$ という2変数関数を $$$x$$$ について偏微分するということ。これは、2変数関数のxの変化率だけを調べるということ。つまり、$$$y$$$ は任意の数でいいんです(1でも14でも好きな数でいい)。だから、計算するときは定数として扱えるのです。 一例として、$$$y = 2$$$ のとき、つまり $$$z = f(x,y) = x^2 + 4$$$ について考えてみましょう。 $$$z = f(x,y) = x^2 + 4$$$ は上記の3次元グラフ $$$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$ を $$$y = 2$$$ の断面で切り取った以下のようなグラフになります。 偏微分グラフ このグラフの $$$x$$$ の変化率を出せと言われたら、微分を理解している方にとっては簡単だと思います。 $$$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x + 4$$$ $$$x$$$ と $$$y$$$ の2変数関数を $$$x$$$ について偏微分するというのは、$$$y$$$ は任意の数として $$$x$$$ で微分するということ。 偏微分がどんなものか理解いただけたでしょうか。
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