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偏微分

さて、偏微分についてもっと詳しく、わかりやすく説明します。 下に $$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$のグラフを示します。2変数関数はこのように3次元空間に曲面として図示することができます。 この2変数関数を $$x$$$ について偏微分してみましょう。 $$x$$$について偏微分するとき、$$y$$$ は定数として扱います。 $$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$この式を $$y$$$ を定数として、$$x$$$で偏微分すると、 $$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x + y^2$$$ となります。 $$y$$$について偏微分するときは $$x$$$ を定数として偏微分します。 偏微分の表し方は複数あります。関数 $$z = f(x,y)$$$を $$x$$$ で偏微分した偏導関数は、以下のようにな記号で表わされます。 $$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$$, $$f_{x}(x,y)$$$, 　　$$\dfrac{\partial f}{\partial x}$$$($$f(x,y)$$$ を$$f$$$と略記した場合), $$f_{x}$$$ ($$f(x,y)$$$を$$f$$$ と略記した場合) ここまでの説明で、偏微分の方法論（$$x$$$について偏微分するとき $$y$$$ は定数として扱う）はわかってきたかともうのですが、偏微分がどのようなものかがイメージ出来ていない方もいるかもしれません。 グラフを見ながらビジュアル的にイメージを掴みましょう。 $$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$という2変数関数を $$x$$$ について偏微分するということ。これは、2変数関数のxの変化率だけを調べるということ。つまり、$$y$$$は任意の数でいいんです(１でも14でも好きな数でいい)。だから、計算するときは定数として扱えるのです。 一例として、$$y = 2$$$ のとき、つまり　$$z = f(x,y) = x^2 + 4$$$について考えてみましょう。 $$z = f(x,y) = x^2 + 4$$$　は上記の3次元グラフ　$$z = f(x,y) = x^2 + y^2$$$を $$y = 2$$$　の断面で切り取った以下のようなグラフになります。 このグラフの $$x$$$の変化率を出せと言われたら、微分を理解している方にとっては簡単だと思います。 $$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x + 4$$$ $$x$$$と $$y$$$　の2変数関数を　$$x$$$について偏微分するというのは、$$y$$$ は任意の数として　$$x$$\$　で微分するということ。 偏微分がどんなものか理解いただけたでしょうか。
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