積分
積分を学ぶ時に、原理を理解するのと同時に、まずは「公式を使える」ことも非常に重要です。公式が使えるようにならないと始まりません。 しかし、初学者には積分計算というものは非常に複雑に見えるものです。なので、『公式は計算問題を解きながら体で覚える』くらいのつもりでじっくりやりましょう。 では、最初に積分計算の基本と公式から始めていきましょう。 Follow @spacedirac積分計算の基本
下に3つの積分計算の基本を示します。これらは基本中の基本なので、しっかり覚えておきましょう。 $$$ 1. \int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +C (n≠-1)$$$ $$$ 2. \int kf(x) dx = k \int f(x) dx $$$ $$$ 3. \int {f(x) \pm g(x)} dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$$積分の基本公式
次は積分の基本公式です。確実に使えるようになりましょう！| \[f(x)\] | \[\int f(x)dx\] |
|---|---|
| \[\sin x\] | \[-\cos x +C\] |
| \[\cos x\] | \[\sin x +C\] |
| \[\dfrac{1}{\cos^2 x}\] | \[\tan x +C\] |
| \[e^x\] | \[e^x +C\] |
| \[a^x\] | \[\dfrac{a^x}{\log a} +C (a>0 \land a≠1)\] |
| \[\dfrac{1}{x}\] | \[\log\vert x\vert +C\] |
| \[\dfrac{f'(x)}{f(x)}\] | \[\log \vert f(x)\vert +C\] |
それでは、これらの公式を使う練習をしてみましょう。上の公式表を見ないでも解けるように、いろいろな問題集で練習しましょう。 1) $$$\int 3x^2 -2x -1 dx$$$ $$$ = \int 3x^2 dx - \int 2x dx - \int 1 dx $$$ $$$ = 3\int x^2 dx -2\int x dx -1\int dx $$$ $$$ = 3 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - 2 \cdot \dfrac {1}{2}x^2 - 1 \cdot x $$$ $$$ = x^3 - x^2 - x + C (C：任意定数)$$$ 2) $$$\int 3\cos t dx$$$ $$$ = 3 \int \cos t dx $$$ $$$ = 3 \sin t + C $$$ 3)$$$\int \dfrac{x}{x^2 + 1} dx$$$ 公式 $$$\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| (f(x)≠0)$$$ の形にもっていく。 $$$ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} dx $$$ これで、 $$$\int \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} dx $$$ の形になったので $$$ = \dfrac{1}{2} ln|x^2 + 1| + C $$$ 積分計算は練習すればするほど、上手くなるし、何より中身を深く理解できるようになります。 問題集などでしっかり練習してください。
いろいろな積分
部分積分
ここからは、少し複雑な積分の公式を見てみましょう。 まずは部分積分です。 部分積分は、二つの関数の積を積分するときに使える積分方法です（かならずしも二つの関数の積を積分できるとは限りませんが…） $$$ 1. \int f'(x)\cdot g(x) = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g'(x) dx $$$ $$$ 2. \int f(x)\cdot g'(x) = f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x) dx $$$$$$ f^n \cdot f'$$$ の積分
部分積分とは似ているようで異なりますね。 $$$ \int f^n \cdot f' dx = \dfrac{1}{n+1}f^{n+1} (ただし、n≠-1) $$$置換積分
置換積分は以下のような公式で表されます。 $$$ \int f(g(x))\cdot g'(x) dx = \int f(t) dt $$$定積分
三角関数の定積分の公式を下に示します。下の公式では、m,nは自然数とします。 $$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx dx = 0$$$ $$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx dx = 0$$$ $$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cdot \cos nx dx = 0$$$ $$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cdot \cos nx dx = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \pi (m = n) \\ 0 (m \neq n) \end{array} \right.\end{eqnarray}$$$ $$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cdot \sin nx dx = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \pi (m = n) \\ 0 (m \neq n) \end{array} \right.\end{eqnarray}$$$区分求積法
それでは、区分求積法にもチャレンジしてみましょう。 区分求積を理解できれば、積分がどんなものかがはっきりと見えてきます。 区分求積法の公式を下に示します。 \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(\dfrac{m}{n}) = \int_0^1 f(x) dx\] とてもややこしい式に見えるかもしれませんが、決して難しくはないです。 ざっくりいうと、たくさんの長方形の面積を全部足し合わせてるだけです。といっても、式だけではわかりづらいので、図で示してみましょう。
区分求積法では、$$$ 0≦x≦1 $$$ の区間で、上図のように幅 $$$\dfrac{1}{n}$$$ の短冊を全て足し合わせるのですが、短冊の幅 $$$\dfrac{1}{n}$$$ を $$$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$$$ とすれば、x軸と $$$f(x)$$$ に挟まれた面積を正確に求められると言っているのです。
区分求積法の公式の右辺は、$$$ 0≦x≦1 $$$ の区間で、x軸と $$$f(x)$$$ に挟まれた面積を表していますね。
では、左辺はどうでしょう。下の図でわかりやすく説明しましょう。
$$$ 0≦x≦1 $$$ の区間で、x軸を n 当分します。
すると、上図のように、幅 $$$\dfrac{1}{n}$$$、高さ $$$f(\dfrac{m}{n})$$$ の長方形がたくさん並びます。それぞれの長方形は、右上の頂点が $$$y=f(x)$$$ のy座標と一致しています。
ここで、この長方形のうち、m 番目のひとつを抜きだして、面積 $$$Sm$$$ を計算してみましょう。幅は $$$\dfrac{1}{n}$$$、高さは $$$f(\dfrac{m}{n})$$$ なので、
$$$Sm = \dfrac{1}{n}\cdot f \dfrac{k}{n} (k = 1,2,3,\cdot,n)$$$
次に $$$ 0≦x≦1 $$$ の区間の全ての長方形の面積を足してみると、
$$$\displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } S_m = \displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } \dfrac{1}{n}\cdot f\dfrac{k}{n}$$$
もうだいぶ区分求積法の公式が見えてきたでしょう！
さらに長方形の幅 n を限りなく細くしてやると、$$$y=f(x)$$$ の面積がより正確に求まると思いませんか？
さて、それでは下図のように、$$$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$$$（短冊の幅を極限まで小さくする）にしてみましょう。
$$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(\dfrac{m}{n}) $$$
これで左辺の完成です。
いかがでしたか？