数学が好き!



Home
Software
Blog
Link

媒介変数表示された曲線の面積

媒介変数表示された曲線の面積の出し方を学んでみましょう。 Follow @spacedirac

媒介変数表示された曲線の面積を出してみましょう。 曲線 $$$ \begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} x = f(\theta) \\ y = g(\theta)  (\alpha ≦ \theta ≦ \beta) \end{array} \right.\end{eqnarray} $$$ とx軸に囲まれた部分の面積を考えてみます。 このとき、この曲線の面積をyの式で表すと、 $$$y = h(x)$$$ と表されることにします。 すると面積Sは $$$S = \int_a^b y dx $$$ と表されます。 この曲線は上記の通り、媒介変数表示で表されることが分かっているので、$$$\theta$$$ で置換積分できます。 $$$S = \int_a^b y dx = \int_\alpha^\beta y \frac{dx}{d \theta} d \theta$$$ このような流れで、媒介変数表示された曲線の面積を出すことができます。
それでは、この知識を使ってアステロイド曲線の面積を出してみましょう。 アステロイド曲線は以下のように媒介変数表示されます。 $$$ \begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} x = a \cos^3 \theta \\ y = a \sin^3 \theta  (a > 0, 0 ≦ \theta ≦ 2 \pi) \end{array} \right.\end{eqnarray} $$$
To the top