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一階線形微分方程式

一階線形微分方程式は下のような式で表します。 \[y' + P(x)y = Q(x) 同次方程式:Q(x)=0, 非同次方程式Q(x)\neq0\] $$$y$$$ と $$$x$$$ の式が入り混じっていますね… でも大丈夫。微分積分をきちんと理解していれば決して難しくはありません。 少しずつ理解していきましょう。 Follow @spacedirac

一階線形微分方程式の一般解は下のようになります。 \[y = e^{-\int P(x)dx} {\int Q(x)e^{P(x)dx} dx + C}\] これをそのまま覚えてしまってもいいのですが、それでは中身をきちんと理解できませんね。実際に問題を解きながら、一つ一つ理解していきましょう。 では、次の一階線形微分方程式を解いていきましょう。 $$$y' - 2y =e^x $$$ 一階線形微分方程式を解くときのコツは、まず 同次方程式 を解くことです。同次方程式とは $$$Q(x)=0$$$ となる方程式でしたね。なので、まずは $$$y' - 2y = 0$$$ を解きましょう。 $$$\dfrac{dy}{dx} = 2y$$$ $$$\int \dfrac{1}{y} dy = 2\int dx$$$ $$$ln |y| = 2x + C_{1}$$$ $$$|y| = e^{2x + C_{1}}$$$ $$$y = \pm C_{2}e^{2x} (C_{2}=e^{C_{1}})$$$ $$$y = Ce^{2x} (C=\pm C_{2})$$$ よって、同次方程式の一般解は $$$y = Ce^{2x} (C=\pm e^{C_{1}})$$$ と求まりました。 さて、次は 非同次方程式 を解いていくのですが、これもまた解き方にコツがあるんです。 先ほどの同次方程式の一般解の任意定数 $$$C$$$ を $$$u(x)$$$ に置き換えて、非同次方程式を解いていくんです。これは定数 $$$C$$$ を $$$x$$$ の関数として、変化させて解いていくので、定数変化法 といいます。 $$$y = u(x) e^{2x}$$$ また、$$$y' = u'(x)e^{2x} + 2u(x)e^{2x}$$$ この式を、与式に代入して $$${u(x) e^{2x}}' - 2u(x) e^{2x} = e^x$$$ $$$u'(x)e^{2x} + 2u(x)e^{2x} - 2u(x) e^{2x} = e^x$$$ $$$u'(x)e^{2x} = e^x$$$ $$$u'(x) = e^{-x}$$$ $$$u(x) = -e^{-x} + C$$$ $$$u(x)$$$ を同次方程式の一般解に代入すると、 $$$y = (-e^{-x} + C)e^{2x} = Ce^{2x} - e^x$$$ これで、与えられた一階線形微分方程式の解が出ました。 ちなみに、一階線形微分方程式の一般解の公式 $$$y = e^{-\int P(x)dx} {\int Q(x)e^{P(x)dx} dx + C}$$$ に代入しても同じ答えが出るので、試してみてください。

ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイの微分方程式は下のような式で表します。 \[y' + P(x)y = Q(x)y^n (n \neq 0,1)\] 一階線形微分方程式とよく似ていますが… 右辺に $$$y^n$$$ … なにやら、めんどくさそうなヤツがいますね。 これも解法を理解してしまえば問題ありません! では、一歩ずつ理解していきましょう。 最初にベルヌーイの微分方程式の解き方の流れをまとめておきます。 1. $$$y \neq 0$$$ として、ベルヌーイの微分方程式の両辺に $$$ (-n+1) \cdot y^{-n} $$$ をかける。    $$$ (-n+1) \cdot y^{-n} y' + (-n+1) P(x)y^{-n+1} = (-n+1)Q(x)$$$    $$$ → (y^{-n+1})' + (-n+1) P(x)y^{-n+1} = (-n+1)Q(x)$$$ 2. $$$ y^{-n+1} = u$$$ とおいて、式を整理する。 $$$ u'+ (-n+1)P(x)u = (-n+1)Q(x) $$$ この $$$ u $$$ の1階線形微分方程式を解く。 3. $$$ u = y^{-n+1} $$$ を代入して一般解を求める。 では、さっそく問題を解いてみましょう。 $$$$$$
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