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二階線形微分方程式

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二階線形微分方程式は下のような式で表わされます。 \[y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) 同次方程式:R(x)=0, 非同次方程式R(x)\neq0\] この方程式の同次方程式( R(x) = 0 )は \[y" + P(x)y' + Q(x)y = 0 \] と表されます。 この二階線形微分方程式の一般解は $$$ y = y_{ 0 } + C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $$$ と表されます。この一般解の $$$ y_{ 0 } $$$ は特殊解、 $$$ C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $$$ は同次方程式の一般解です。 この同次方程式の一般解 $$$ C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $$$ の $$$ y_{ 1 }$$$ と $$$y_{ 2 } $$$ は一次独立な解になる。この判定方法として、ロンスキアン$$$ W(y_{ 1 },y_{ 2 }) $$$というものがあります。ロンスキアンの定義式は、 \[W(y_{ 1 },y_{ 2 }) = \begin{vmatrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{vmatrix} = y_{ 1 } y'_{ 2 } - y'_{ 1 }y_{ 2 } \] このロンスキアンが、 $$$ W(y_{ 1 },y_{ 2 }) \neq 0 $$$ のときに$$$ y_{ 1 }$$$ と $$$y_{ 2 } $$$ は一次独立な解になる。 二階線形微分方程式の一般解yは、特殊解$$$ y_{0}$$$(非同次方程式の解)と一般解Y(同次方程式の解)からなり、以下のように表されます。 \[y = y_{0} + Y \] では、なぜ二階線形微分方程式の一般解がこのように表されるのか説明します。下の2つの式を見てください。 yも $$$ y_{0}$$$ も二階線形微分方程式の一般解と特殊解なので、以下のようにおけます。 $$$ y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x)  式A$$$ $$$ y_{0}" + P(x)y_{0}' + Q(x)y_{0} = R(x)  式B$$$ 式Aから式Bを引くと、 $$$ (y - y_{0})" + P(x)(y - y_{0})' + Q(x)(y - y_{0}) = 0 $$$ この式をよく見てみると、二階線形微分方程式の同次方程式の形をしていることが分かります。この同次方程式の一般解Yは、$$$ y - y_{0} = Y $$$ となるので、 $$$ y = y_{0} + Y $$$ となる。
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