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二階線形微分方程式

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定数係数二階同次微分方程式について以下にまとめます。 定数係数二階同次微分方程式はこのような式で表されます。 \[ y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) \] 上式の同次方程式 $$$ y" + ay' + by = 0 (a, b : 定数) $$$ の一般解は次のように求められます。 特性方程式 $$$ λ^2 + aλ + b = 0 $$$ の2つの解 $$$ λ_{1}, λ_{2} $$$ について、 (i) $$$ λ_{1}, λ_{2} $$$ が相違なる2実数解であるとき、 ・基本解は、 $$$ e^{λ_{1}x}, e^{λ_{2}x} $$$ であり、 ・一般解は、 $$$ y = C_{1}e^{λ_{1}x} + C_{2} e^{λ_{2}x} $$$ となる。 $$$ C_{1} , C_{2} $$$ は任意定数 (ii) $$$ λ_{1}= λ_{2} $$$ 重解であるとき、 ・基本解は、 $$$ e^{λ_{1}x}, xe^{λ_{1}x} $$$ であり、 ・一般解は、 $$$ y = C_{1}e^{λ_{1}x} + C_{2} xe^{λ_{1}x} = (C_{1} + C_{2}x) e^{λ_{1}x} $$$ となる。 (iii) $$$ λ_{1}, λ_{2} $$$ が相違なる共役な虚数解であるとき、 $$$ λ_{1} = α + iβ, λ_{2} = α + iβ (α,β(≠0):実数)$$$ とおくと、 ・基本解は、 $$$ e^{αx}\cos{βx}, e^{αx}\sin{βx} $$$ であり、 ・一般解は、 $$$ y = C_{1}e^{αx}\cos{βx} + C_{2}e^{αx}\sin{βx} = e^{αx}(C_{1}\cos{βx} + C_{2}\sin{βx}) $$$ となる。
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