数学が好き!



Home
Software
Blog
Link

ラプラス変換の応用

ラプラス変換はデルタ関数やステップ関数についても応用することができます。 (デルタ関数やステップ関数について学びたい方は、以下の動画をどうぞ)
Follow @spacedirac

デルタ関数とステップ関数のラプラス変換は以下のように表されます。 デルタ関数   $$$ \mathcal{L}[\delta (t)] = 1 $$$ ステップ関数  $$$ \mathcal{L}[u(t)] = \dfrac{1}{s} $$$         $$$ \mathcal{L}[u(t-a)] = \dfrac{e^{-as}}{s} $$$ では、これらのラプラス変換が成り立つことを確認してみましょう。 まず、デルタ関数のラプラス変換ですが、 $$$ \mathcal{L}[\delta (t-a)] (a ≧ 0) $$$ について考えてみましょう。 ラプラス変換の定義式はこれでしたね。 \[ F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt\] なので、$$$ \mathcal{L}[\delta (t-a)] (a ≧ 0) $$$ のラプラス変換は $$$ \mathcal{L}[\delta (t-a)] = \int_0^\infty e^{-st} \delta (t-a) dt $$$ となります。ここで、この式にある公式を当てはめたいと思います。 公式1  $$$ \int_-\infty^\infty f(t) \delta (t-a) dt = f(a) $$$ しかし、この公式は積分区間が $$$ -\infty $$$ から $$$ \infty $$$ までなので、先ほどのデルタ関数のラプラス変換とは積分区間が異なります。 ですが、デルタ関数は以下の図のように、$$$ t \lt 0 $$$ のとき $$$ \delta (t-a) = 0 $$$ なので、tの積分区間を $$$ -\infty $$$ から $$$ \infty $$$ にしても結果は変わりません。 よって、 $$$ \mathcal{L}[\delta (t-a)] = \int_0^\infty e^{-st} \delta (t-a) dt $$$ $$$ = \int_-\infty^\infty e^{-st} \delta (t-a) dt $$$ これで、上の公式1が適用できる。$$$ e^{-as} $$$ を f(t) と考えると $$$ = e^{-as} $$$ となります。これまでは $$$ \mathcal{L}[\delta (t-a)] $$$ を考えてきましたが、$$$ \mathcal{L}[\delta (t)] $$$ はこの結果に $$$ a = 0 $$$ を代入してやればいいですね。 $$$ = e^0 = 1 $$$ これで、$$$ \mathcal{L}[\delta (t)] = 1 $$$ であることが証明できました。
To the top