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ブロムウィッチ積分

この章では、ブロムウィッチ積分について学んでみましょう。 なぜ、が積分の章でなく、ラプラス変換の章にあるのか… それは、このブロムウィッチ積分というものを使って、逆ラプラス変換の公式を求めることができるからなんです。 ※この章を完全に理解するには、フーリエ変換や複素関数の知識が必要です。
ラプラス逆変換の公式は以下のようになります。そして、これこそが、ブロムウィッチ積分の正体なのです。 \[f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \displaystyle \int_{p-i\infty}^{p+i\infty} F(s) e^{st} ds   s = p + i\alpha  i:虚数単位\] おさらいとして、フーリエの積分定理についても簡単に書いておきます。 (詳しく学びたい方は、フーリエの積分定理の章を確認ください。) g(t)が -∞から∞で区分的に滑らかで、かつ絶対化積分であるとき、 \[g(t) = \frac{1}{2 \pi} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha t} \{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i\alpha t} dt \} d\alpha \] が成り立ちます。これがフーリエの積分定理でした。 これから、ブロムウィッチ積分が成り立つことを確認していきます。 まず、定積分$$$ \displaystyle \int_{p-i\omega}^{p+i\omega} F(s) e^{st} ds$$$ を考えます。 $$$s = p+ i\alpha$$$ のとき、$$$s→\alpha$$$ で、$$$s$$$ が $$$p-i\omega$$$ から $$$p+i\omega$$$ のとき、$$$\alpha$$$ は $$$-\omega → \omega$$$ となります。そして、$$$ds = id\alpha$$$ です。 また、ラプラス変換は $$$ F(s) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$$ なので、 $$$ \displaystyle \int_{p-i\omega}^{p+i\omega} F(s) e^{st} ds $$$ $$$ = \displaystyle \int_{-\omega}^{\omega} \{\displaystyle \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt \} e^{(p+i\alpha)t} id\alpha $$$ $$$e^{(p+i\alpha)t}$$$ は $$$e^{pt} \cdot e^{i\alpha t}$$$ なので $$$ = ie^{pt} \displaystyle \int_{-\omega}^{\omega} e^{i\alpha t} \{ \{\displaystyle \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-(p+i\alpha)t} dt \} d\alpha $$$ $$$ e^{-(p+i\alpha)t} $$$ は $$$e^{-pt} \cdot e^{i\alpha t}$$$ であり、 また、なので $$$ = ie^{pt} \displaystyle \int_{-\omega}^{\omega} e^{i\alpha t} \{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\alpha t} (e^{-pt} f(t)) dt \} d\alpha $$$ ここで、$$$ \omega → \infty $$$ の極限を取って、 $$$ \displaystyle \lim_{ \omega \to \infty } \displaystyle \int_{p-i\omega}^{p+i\omega} F(s) e^{st} ds $$$ $$$ \displaystyle \int_{p-i\infty}^{p+i\infty} F(s) e^{st} ds $$$ $$$ = ie^{pt} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha t} \{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\alpha t} (e^{-pt} f(t)) dt \} d\alpha $$$ $$$ e^{-pt} f(t) $$$を $$$ g(t) $$$ とおき、さらにフーリエの積分定理の形に近づけて、 $$$ = 2\pi ie^{pt} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\alpha t} \{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i\alpha t} ) dt \} d\alpha $$$ 式の中に、フーリエの積分定理( $$$ g(t) = e^{-pt} f(t) $$$ )が現れたので、 $$$ 2\pi ie^{pt} e^{-pt} f(t) = 2\pi i f(t) $$$ よって、 $$$ 2\pi i f(t) = \displaystyle \int_{p-i\infty}^{p+i\infty} F(s) e^{st} ds $$$ $$$ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \displaystyle \int_{p-i\infty}^{p+i\infty} F(s) e^{st} ds $$$ これで、ブロムウィッチ積分が成り立つことが分かりました!
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