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ラプラス変換を使って微分方程式を解く

ラプラス変換の最初の章で「ラプラス変換を使うと、微分方程式をが代数的に解ける」といいました。 この章では、これを実践してみましょう。 ラプラス変換を使って微分方程式解くときの基本的な流れはこの図の通りです。 ラプラス変換のイメージ 言葉で説明しますと、与えられたy(t)の微分方程式えおラプラス変換することにより、Y(s)の代数方程式に持ち込んで解き、その後整理されたY(s)をラプラス逆変換して解となるy(t)を求めることになります。
では一つ実践してみましょう。 この1階微分方程式をラプラス変換を使って解いてみます。 $$$ y'(t) - 2y(t) = e^{t}   (y(0)= 1)$$$ まずは両辺をラプラス変換します。 $$$ \mathcal{L}[y'(t) - 2y(t)] = \mathcal{L}[e^t] $$$ $$$ → sY(s) - y(0) - 2Y(s) = \frac{1}{s-1}$$$ $$$ → sY(s) - 1 - 2Y(s) = \frac{1}{s-1}  ※y(0)= 1$$$ $$$ → (s-2)Y(s) = \frac{1}{s-1} + 1 $$$ $$$ → Y(s) = \frac{1}{(s-1)(s-2)} + \frac{1}{s-2} $$$ これからY(s)を整理します。まずは$$$ \frac{1}{(s-1)(s-2)} $$$の部分分数展開について説明しましょう。 部分分数展開するには、$$$ \frac{1}{(s-1)(s-2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s-2}$$$ とおきます。 $$$\frac{A}{s-1} + \frac{B}{s-2}$$$ $$$ = \frac{(s-2)A + (s-1)B}{(s-1)(s-2)} $$$ $$$ = \frac{(A + B)s -2A -B}{(s-1)(s-2)} $$$ この式が、$$$ \frac{1}{(s-1)(s-2)} $$$ど同じになるので、 $$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0 \\ -2A - B = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$$ となり、この連立方程式を解くと、$$$ A = -1, B = 1$$$ となります。よって、 $$$ \frac{1}{(s-1)(s-2)} = \frac{-1}{s-1} + \frac{1}{s-2}$$$ となることが分かりました。 $$$ → Y(s) = \frac{-1}{s-1} + \frac{1}{s-2} + \frac{1}{s-2} $$$ $$$ → = \frac{2}{s-2} - \frac{1}{s-1} $$$ Y(s)が整理できたので、これをラプラス逆変換してy(t)を求めます。 $$$ y(t) = \mathcal{L^{-1}}[Y(s)] $$$ $$$ = 2 \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s-2}] - \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s-1}] $$$ $$$ 2e^{2t} -e^t $$$ これでy(t)が求まりました。 ラプラス変換を使って微分方程式を解く流れを理解できたでしょうか。
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