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コーシー・リーマンの方程式

コーシー・リーマンの方程式とは、連続性と微分可能性と合わせて、複素関数が複素微分可能すなわち正則であるための必要十分条件を表します(Wikipediaより)。 Follow @spacedirac
(この章の内容を動画で見たい方は、Youtube動画をご覧になってください。)

簡単に言うと、コーシー・リーマンの方程式は、ある領域Dにおいて複素関数f(z)が正則出ることを判定するための道具です。 具体的に書くと、 領域Dで定義されたz=x+iyの関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が正則であるならば、 \[\frac{\partial u }{\partial x } = \frac{\partial v }{\partial y }  \cap  \frac{\partial v }{\partial x } = - \frac{\partial u }{\partial y }\] が成り立つ。この上式がコーシー・リーマンの方程式です。 \[u_{x} = v_{y}  \cap  v_{x} = -u_{y}\] と表すこともあります。 それでは、コーシー・リーマンの方程式を使って、z=x+iyの関数 $$$e^z$$$ が任意のzについて正則であることを示してみましょう。 $$$f(z) = e^z =e^{x+iy}$$$ とおきます。この式はオイラーの公式を使って展開できますね。 $$$ = e^x (\cos y + i \sin y) $$$ $$$ = e^x \cos y + i e^x \sin y $$$ xとyの関数が2つ現れました。なので、$$$u(x,y)$$$ と $$$v(x,y)$$$ を以下のようにおきます。 $$$u(x,y) = e^x \cos y   v(x,y) = e^x \sin y $$$ ここで、u(x,y)とv(x,y)をそれぞれxとyで偏微分して、コーシー・リーマンの方程式が成り立つかどうか確認します。 $$$ \frac{\partial u }{\partial x } = e^x \cos y ,  \frac{\partial v }{\partial y } = e^x \cos y$$$ よって $$$ \frac{\partial u }{\partial x } = \frac{\partial v }{\partial y } $$$ が成り立つことが分かりました。 次に、 $$$ \frac{\partial v }{\partial x } = e^x \sin y ,  \frac{\partial u }{\partial y } = -e^x \sin y $$$ よって $$$ \frac{\partial v }{\partial x } = - \frac{\partial u }{\partial y }$$$ も成り立ちます。 したがって、e^zは任意のzについて正則であることが分かりました。
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