この章では、これまでとは少し違った不思議な関数「デルタ関数」と「ステップ関数」について学びましょう。
(この章の内容について動画で学びたい方は、下のYoutubeをどうぞ)
ディラックのデルタ関数は以下のように表されます。
\[ δ(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}
-∞ \quad (x = 0)\\
\quad 0 \quad (x \neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\]
$0$ の時だけ無限でそれ以外は $0$ になる、これがデルタ関数です。これは物理的には1点に加えた衝撃力などを表します。
ステップ関数は以下のように表されます。
\[ u(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}
-∞ \quad (x = 0)\\
\quad 0 \quad (x \neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\]
$-\pi \lt x \leqq \pi$ で定義された区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ は以下のようになります。
\[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos kx + b_{k}\sin kx)\]
この式の右辺がフーリエ級数です。また、フーリエ係数 $a_{k}$、 $b_{k}$ は以下のようになります。
$0$ の時だけ無限でそれ以外は $0$ になる、これがデルタ関数です。これは物理的には1点に加えた衝撃力などを表します。
ステップ関数は以下のように表されます。
\[ u(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}
-∞ \quad (x = 0)\\
\quad 0 \quad (x \neq 0)
\end{array}\right.\end{eqnarray}\]
$-\pi \lt x \leqq \pi$ で定義された区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ は以下のようになります。
\[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos kx + b_{k}\sin kx)\]
この式の右辺がフーリエ級数です。また、フーリエ係数 $a_{k}$、 $b_{k}$ は以下のようになります。