ある関数 $f(t)$ のフーリエ変換の定義式は次のように表されます。 　フーリエ変換は、 $F[f(t)]$ と表すこともあります。 　定義式からわかる通り、フーリエ変換は、時間領域の関数 $f(t)$ に複素指数関数 $e^{-i \omega x}$ を変えたものを、$t$について無限積分を行って、周波数領域の関数 $F(\omega)$ に変換するものです。 指数関数をかけて無限積分を行って新たな関数に変換するというのは、ラプラス変換に似ていますね。 ラプラス変換と違い、フーリエ変換は $f(t)$ が区間 $[- \infty, \infty]$ で絶対可積分であれば、 $F(\omega)$ は存在します。 では、早速問題に挑戦してみましょう。

問１　次の関数のフーリエ変換を求めよ。 $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 1 & ( -1 \lt x \lt 0) \\ 0 & ( x \lt -1, 0 \lt x) \end{cases} \end{eqnarray}$

代表的なフーリエ変換について、つぎの表にまとめてみました。

$f(t)$	$F( \omega)　(= \mathcal{F}[f(t)])$
$\begin{eqnarray} \begin{cases} 1 & ( -1 \lt x \lt 0) \\ 0 & ( x \lt -1, 0 \lt x) \end{cases} \end{eqnarray}$	$\sqrt{\dfrac{2}{ \pi}} \dfrac{\sin a \omega}{ \omega}$
$\begin{eqnarray} U(t) e^{-at} = \begin{cases} e^{-at} & (t \gt 0) \\ 0 & (t \leqq 0) \end{cases} \end{eqnarray}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \dfrac{1}{a + i \omega}$

　フーリエ変換では、線形法則が成り立ちます。 線形法則が成り立つことを、実際に計算して確認してみましょう。まずは、フーリエ変換の定義式を使って、$F[af(t) + bg(t)]$ を計算すると $F[af(t) + bg(t)] = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \{af(t) + bg(t) \} e^{-i \omega t} dt = \dfrac{a}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt + \dfrac{b}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} g(t) e^{-i \omega t} dt$ 上式をよく見ると、 $f(t)$ のフーリエ変換の式と $g(t)$ のフーリエ変換の式が含まれています。なので、さらに次のように変換できます。 $F[af(t) + bg(t)] = a F[f(t)] + b F[g(t)]$ これで、線形法則が成り立つことが確認できました。 フーリエ変換では、対称法則も成り立ちます。 線形法則が成り立つことを、実際に計算して確認してみましょう。 $f(t)$ が連続であるということは、反転公式が成り立ちます。反転公式とは、以下のようなものです。 まず、反転公式から $f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} F( \omega) e^{i \omega t} d \omega$ ここで、$t$ を $-t$ に置き換えると $f(-t) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} F( \omega) e^{-i \omega t} d \omega$ さらに、変数 $t$ と $\omega$ を形式的に入れ替えると $f(- \omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} F( \omega) e^{-i t \omega} dt$ すると、右辺は $F(t)$ のフーリエ変換になっています。よって、 $\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} F( \omega) e^{i \omega t} d \omega = f(t)$ 対称法則が成り立つことが分かりました。