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フーリエ解析

フーリエ解析は応用解析学の一つです。 フーリエ解析が役立つ場面や分野は、数えきれないほどたくさんあります。 当然、数学の他の分野でもたくさんの応用先があるのですが、物理学や工学にも必須です。音響工学、光学、電気電子工学では、非常によく使われます。 では、そのフーリエ解析はどのようにして生まれたのでしょうか。 フーリエ解析は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエ(1768-1830)によって生み出されました。 当時、フーリエは「連続な関数は、周期の異なるサイン波の足し合わせにより表現できる。つまり、フーリエ級数展開が可能である。」という主張を持っておりました。 ところが、いつの時代も新しい発想というものはすぐに受け入れられません。長い時間をかけて証明を行い、フーリエ級数展開、フーリエ変換、逆変換を発明したのです。
下の図にフーリエ級数展開のイメージを表してみました。 一番上の波形は、その下に描かれている、もとの波形の周期に等しいサイン波(基本波)と、その整数倍の波数を持ったサイン波(高調波)との重ね合わせに分解できるんです。 余弦波は?と思った人もいると思いますが、余弦波は正弦波波(サイン波)の位相が違うだけのものなので、正弦波と同じものなのです。 フーリエ解析が利用できると何がうれしいのでしょうか。 関数は、フーリエ級数展開をすることで、周期の異なるサイン波の足し合わせ(重ね合わせ)として表現できます。複雑な関数が、単純な正弦波の足し合わせで表現できる、というところがフーリエ解析の素晴らしいところなんです。 色々と混ざってるもののなかの、単純な成分の配分が調べられるわけです。 音響工学、光学、電気電子工学では、非常によく使わるといいましたね。 電気とか音とか光みたいに振動するものは、波形で表されます。波形で表されると、それはフーリエ解析できる可能性があるわけです。 電気や音のノイズ成分が分かると、それをを除去できるかもしれません。X線を物質に充てて透過した波形を見れば、物質の組成が分かるかもしれません。 フーリエ解析とかフーリエ級数展開とかフーリエ変換とか、いろいろな言葉が出てきましたが、それらをまとめたものをフーリエ解析だと思ってください。
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