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複素フーリエ級数

それでは、前項でフーリエ級数の基礎を学んだので、今度は複素フーリエ級数について学んでみましょう。 これまでのフーリエ急展開より、複素フーリエ級数の方がシンプルに表現できるんです。 $$$-L \lt x \leqq L$$$ で定義された区分的に滑らかな周期関数 $$$f(x)$$$ は、以下のように複素フーリエ級数展開できます。 \[ f(x) = \sum_{ k = 0, ±1 }^{ ± \infty } c_{k} e^{i \frac{k \pi}{L}x }\] また、複素フーリエ係数 $$$c_{k} (k = 0, ±1, ±2, \cdots )$$$ も以下のように定義できます。 \[ c_{k} = \frac{1}{2L} \displaystyle \int_{-L}^{L} f(x) \cdot \cos e^{i \frac{k \pi}{L}x } dx \] まずは複素フーリエ級数展開に慣れろ!ってことで、下の問題を一緒に解いてみましょう。 次式のように定義された周期関数 $$$f(x)(周期2)$$$ を、複素フーリエ級数展開します。 \[f(x) = 1 - |x| (-1 \leqq x \lt 1) \] フーリエ級数展開 上の図を見てみると、$$$f(x)$$$が区分的に滑らかであることが分かりますね。なので、複素フーリエ級数展開の式にあてはめられます。 \[f(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} 1 + x (-1 \lt x \leqq 0)\\ 1 - x (0 \lt x \leqq 1) \end{array}\right.\end{eqnarray}\] また、この周期関数の周期は2であることが分かるので、L=1となりますので、複素フーリエ級数に展開すると、 $$$ f(x) = c_{0} + \sum_{ k = ±1 }^{ ± \infty } c_{k} e^{i \frac{k \pi}{1}x } $$$ まずは、複素フーリエ係数 $$$c_{k} (k=0, ±1, ±2, \cdots)$$$ から求めていきましょう。 $$$ c_{0} = \frac{1}{2} \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx $$$ $$$ = \frac{1}{2} \lbrace \displaystyle \int_{-1}^{0} (1 + x) dx + \displaystyle \int_{0}^{1} (1 - x) dx \rbrace $$$ $$$ = \frac{1}{2} \lbrace \left[x + \frac{ 1 }{ 2 }x^2 \right]_-1^0 + \left[x - \frac{ 1 }{ 2 }x^2 \right]_0^1 \rbrace $$$ $$$ = \frac{1}{2} \lbrace -(-1+\frac{1}{2}) + (1- \frac{1}{2}) \rbrace $$$ $$$ = \frac{1}{2} $$$ これで $$$ c_{0} $$$ が求まりましたので、次に $$$ c_{k = ±1, ±2, \cdots} $$$ を求めていきましょう。 $$$ c_{k} = \frac{1}{2} \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) e^{-i \frac{k \pi}{1} x } dx $$$ $$$ = \frac{1}{2} \lbrace \displaystyle \int_{-1}^{0} (1+x) e^{-i k \pi x} dx + \displaystyle \int_{0}^{1} (1-x) e^{-i k \pi x} dx \rbrace $$$ ここで、$$$e^{-i k \pi x}$$$ にオイラーの公式を適用して、 $$$e^{-i k \pi x} = \cos{k \pi x} -i \sin{k \pi x}$$$ とします。 $$$ = \frac{1}{2} \lbrace \displaystyle \int_{-1}^{0} (1+x) (\cos{k \pi x} -i \sin{k \pi x}) dx + \displaystyle \int_{0}^{1} (1-x) (\cos{k \pi x} -i \sin{k \pi x}) dx \rbrace $$$ $$$ = \frac{1}{2} \lbrace \frac{1-(-1)^k}{k^2 \pi^2} + \frac{(-1)^k -1}{k^2 \pi^2} \rbrace $$$ $$$ = \frac{2}{2} \frac{1-(-1)^k}{k^2 \pi^2} $$$ $$$ = \frac{1-(-1)^k}{k^2 \pi^2}  (k = ±1, ±2, \cdots)$$$ これで、$$$ c_{0} $$$ と $$$ c_{k} $$$が求まりました。 これらを最初の$$$f(x)$$$の式に代入して $$$ f(x) = 1 - |x| $$$ $$$ = \frac{1}{2} + \sum_{ k = ±1 }^{ ± \infty } \frac{1-(-1)^k}{k^2 \pi^2} e^{ik \pi x} $$$ $$$ = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi^2} \sum_{ k = ±1 }^{ ± \infty } \frac{1-(-1)^k}{k^2} e^{ik \pi x} $$$ となります。
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