数学が好き!



Home
Software
Blog
Link

デルタ関数とステップ関数

この章では、これまでとは少し違った不思議な関数「デルタ関数」と「ステップ関数」について学びましょう。 (この章の内容について動画で学びたい方は、下のYoutubeをどうぞ)

ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数はこんな見た目をしています。 \[ δ(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} -∞ \quad (x = 0)\\ \quad 0 \quad (x \neq 0) \end{array}\right.\end{eqnarray}\] デルタ関数1 0の時だけ無限で、それ以外は0になる、これがデルタ関数です。これは物理的には1点に加えた衝撃力などを表します。 ステップ関数はこんな風に表されます。 \[ u(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} -∞ \quad (x = 0)\\ \quad 0 \quad (x \neq 0) \end{array}\right.\end{eqnarray}\] ステップ関数1 $$$-\pi \lt x \leqq \pi$$$ で定義された区分的に滑らかな周期関数$$$f(x)$$$は以下のようになる。 \[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos kx + b_{k}\sin kx)\] この式の右辺がフーリエ級数だ。また、フーリエ係数$$$a_{k}$$$、$$$b_{k}$$$は以下のようになる。
To the top