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複素フーリエ級数

それでは、前項でフーリエ級数の基礎を学んだので、今度は複素フーリエ級数について学んでみましょう。これまでのフーリエ急展開より、複素フーリエ級数の方がシンプルに表現できるんです。 $$$-L \lt x \leqq L$$$ で定義された区分的に滑らかな周期関数$$$f(x)$$$は、以下のように複素フーリエ級数展開できます。 \[ f(x) = \sum_{ k = 0, ±1 }^{ ± \infty } c_{k} e^{i \frac{k \pi}{L}x }\] また、複素フーリエ係数$$$c_{k} (k = 0, ±1, ±2, \cdots )$$$も以下のように定義できます。 \[ c_{k} = \frac{1}{2L} \displaystyle \int_{-L}^{L} f(x) \cdot \cos e^{i \frac{k \pi}{L}x } dx \] 複素フーリエ級数展開に慣れろ!ってことで、下の問題を一緒に解いてみましょう。 次式のように定義された周期関数f(x)(周期2)を、複素フーリエ級数展開せよ。 \[f(x) = 1 - |x| (-1 \leqq x \lt 1) \] フーリエ級数展開 上の図を見てみると、f(x)が区分的に滑らかであることが分かりますね。なので、複素フーリエ級数展開の式にあてはめられます。 \[f(x) = \begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} -\frac{\pi}{4} (-\pi \lt x \leqq 0)\\ \frac{\pi}{4} (0 \lt x \leqq \pi) \end{array}\right.\end{eqnarray}\] まずは複素フーリエ係数$$$a_{k}, b_{k}$$$から求めていきましょう。