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概要

ほとんど全ての関数は、周期の異なるサイン波の重ね合わせで表せる。この事実を発見したのが、フランスの数学者フーリエ。

フーリエ級数

$$$-\pi \lt x \leqq \pi$$$ で定義された区分的に滑らかな周期関数$$$f(x)$$$は以下のようになる。 \[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos kx + b_{k}\sin kx)\] この式の右辺がフーリエ級数だ。また、フーリエ係数$$$a_{k}$$$、$$$b_{k}$$$は以下のようになる。 \[\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} a_{k} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos kx dx \quad (k=0,1,2,\cdots)\\ b_{k} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \sin kx dx \quad (k=1,2,3,\cdots) \end{array}\right.\end{eqnarray}\]

フーリエ変換

フーリエ変換 \[F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st} {f(t)dt}\]

フーリエ変換表

\[f(t)\]\[F(s)\]\[条件\]
\[1\]\[\frac{1}{s}\]\[s>0\]
\[t^n\]\[\frac{n!}{s^{n+1}}\]\[s>0, n=0,1,2,\cdots\]
\[t^{\alpha}\]\[\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}\]\[\alpha>-1, s>0\]
\[e^{at}\]\[\frac{1}{s-a}\]\[s>a\]
\[\sin at\]\[\frac{a}{{s^2}+{a^2}}\]\[s>0\]
\[\cos at\]\[\frac{s}{{s^2}+{a^2}}\]\[s>0,\]
\[\sinh at\]\[\frac{a}{{s^2}-{a^2}}\]\[s>a,a≧0\]
\[\cosh at\]\[\frac{s}{{s^2}-{a^2}}\]\[s>0,a≧0\]

応用