概要
ほとんど全ての関数は、周期の異なるサイン波の重ね合わせで表せる。この事実を発見したのが、フランスの数学者フーリエ。フーリエ級数
$$$-\pi \lt x \leqq \pi$$$ で定義された区分的に滑らかな周期関数$$$f(x)$$$は以下のようになる。 \[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}\cos kx + b_{k}\sin kx)\] この式の右辺がフーリエ級数だ。また、フーリエ係数$$$a_{k}$$$、$$$b_{k}$$$は以下のようになる。 \[\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l} a_{k} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos kx dx \quad (k=0,1,2,\cdots)\\ b_{k} = \frac{1}{\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \sin kx dx \quad (k=1,2,3,\cdots) \end{array}\right.\end{eqnarray}\]フーリエ変換
フーリエ変換 \[F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st} {f(t)dt}\]フーリエ変換表
| \[f(t)\] | \[F(s)\] | \[条件\] |
|---|---|---|
| \[1\] | \[\frac{1}{s}\] | \[s>0\] |
| \[t^n\] | \[\frac{n!}{s^{n+1}}\] | \[s>0, n=0,1,2,\cdots\] |
| \[t^{\alpha}\] | \[\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}\] | \[\alpha>-1, s>0\] |
| \[e^{at}\] | \[\frac{1}{s-a}\] | \[s>a\] |
| \[\sin at\] | \[\frac{a}{{s^2}+{a^2}}\] | \[s>0\] |
| \[\cos at\] | \[\frac{s}{{s^2}+{a^2}}\] | \[s>0,\] |
| \[\sinh at\] | \[\frac{a}{{s^2}-{a^2}}\] | \[s>a,a≧0\] |
| \[\cosh at\] | \[\frac{s}{{s^2}-{a^2}}\] | \[s>0,a≧0\] |