線形は英語で Linear といい、、これには「線状の」とか「直線の」といった意味があります。下に3つのグラフがありますが、リニア(線形の)なグラフはどれでしょうか。 　　 正解は左から2番目のグラフです。1番目は二次関数のグラフで、3番目は円のグラフですが、これらは線が曲がっています。これはリニアではないんですね。 この線形代数の分野では、一次式のみを扱うんです。一次式なら大丈夫と思った人は多いんじゃないでしょうか。 線形代数は ベクトル空間の線形写像を扱うための学問 です。ベクトルというのは、向きと大きさを持った量です。下の図ような矢印で表されます。また、線形代数は連立方程式という多くの文字を扱う分野の研究から生まれました。特に、「連立方程式」についての研究からスタートしたんです。 線形代数が使えると、多くの代数(文字)を扱う複雑な計算をすっきりと行えるようになるんです。さらに、微分積分といった解析学と合わせることで、曲線や空間を直線で近似して計算することができるようになります。この後に学ぶベクトル解析の重要な基礎にもなりますし、複数の文字を扱う多変数解析でも多様体の解析でも、線形代数が活躍します。

　物理量にはスカラーとベクトルがあります。これらには以下のような違いがあります。 スカラー　：　大きさだけを表す物理量。例えば、長さ、面積、温度、時間など。 ベクトル　：　大きさと方向を表す物理量。力、速度、加速度など。 ここではベクトルの基本についてまとめます。 ベクトルの性質 ⅰ）交換法則　$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}$ ⅱ）結合法則　$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$ ベクトルの実数倍 $m, n$ を実数とするとき、 ⅰ）$m(n \boldsymbol{a}) = (mn) \boldsymbol{a}$ ⅱ）$(m + n) \boldsymbol{a} = m \boldsymbol{a} + n \boldsymbol{a}$ ⅲ）$m (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = m \boldsymbol{a} + m \boldsymbol{b}$ ⅳ）$|m \boldsymbol{a}| = |m| |\boldsymbol{a}|$ 線形代数について、さらに詳しく学びたい方には、以下の本がおすすめです（楽天のサイトにとびます）。

　Oxy座標平面上に $E(1, 0)$ と $F(0, 1)$ とり、$\boldsymbol{i} = \overrightarrow {OE}$、 $\boldsymbol{j} = \overrightarrow {OF}$ とすると、$\boldsymbol{i}$（x軸方向の基本ベクトル）、$\boldsymbol{j}$（y軸方向の基本ベクトル）はそれぞれ単位ベクトルとなります。平面上の原点$O$ と点$A(a_{1}, a_{2})$ を結ぶベクトルを $\boldsymbol{a}$ とおくと、$\boldsymbol{a} = \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OL}$ となります。ここで、$\overrightarrow {OH} = a_{1} \boldsymbol{i}$、 $\overrightarrow {OL} = a_{2} \boldsymbol{j}$ となるので、$\boldsymbol{a}$ は以下のように表すことができます。 　$\boldsymbol{a} = a_{1} \boldsymbol{i} + a_{2} \boldsymbol{j}$ $\boldsymbol{a} = (a_{1}, a_{2}$ のようにベクトル$\boldsymbol{a}$ を2つの実数の組で表すことを、ベクトルの成分表示といい、この場合 $a_{1}$ は $\boldsymbol{a}$ のx成分、$a_{2}$ は $\boldsymbol{a}$ のy成分になります。 ベクトル$\boldsymbol{a}$ の大きさは、三平方の定理を使って次のように表されます。 　$\boldsymbol{a} = \sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2}$ ベクトルの成分による計算について以下にまとめます。 $\boldsymbol{a} = (a_{1}, a_{2})$、 $\boldsymbol{b} = (b_{1}, b_{2})$、$m$ は実数のとき、 ⅰ）$\boldsymbol{a} ± \boldsymbol{b}) = (a_{1} ± b_{1}, a_{2} ± b_{2})$ ⅱ）$m \boldsymbol{a} = (m a_{1}, m a_{2})$ ⅲ）$\overrightarrow {AB} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^2 + (b_{2} - a_{2})^2}$

　以下の図において、ベクトル $\boldsymbol{h} = \overrightarrow {OH}$ を $\boldsymbol{b}$ の $\boldsymbol{a}$ 上への正射影といいます。$\boldsymbol{a}$ に点B側から垂直に光をあてたときに、$\boldsymbol{a}$ 上できる影になる部分です。 ベクトルの内積 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ は以下のように表されます。 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta$ この内積も成分による計算が可能であり、以下のように表されます。 $\boldsymbol{a} = (a_{1}, a_{2})$、 $\boldsymbol{b} = (b_{1}, b_{2})$ のとき、$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ $\theta$ が鋭角の時は、$|\boldsymbol{h}| = |\boldsymbol{b}| \cos \theta$ となるので、内積 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ は正射影の大きさ $|\boldsymbol{h}|$ と $|\boldsymbol{a}|$ の積であることが分かります。また、これらから$\cos \theta$ は以下のように表されます。 $\cos \theta = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \dfrac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2} \sqrt{b_{1}^2 + b_{2}^2}}$ $\theta$ が鋭角の時は $\cos \theta = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ となるため、内積は $0$ になります。 内積の性質 ⅰ）$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2$ ⅱ）$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$

　 $\boldsymbol{0}$ でない２つのベクトル $\boldsymbol{a}$、 $\boldsymbol{b}$ の向きが同じか反対になるとき、$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ は並行であるといい、$\boldsymbol{a} /\!/ \boldsymbol{b}$ と表します。ベクトルが並行となる条件は以下のようになります。 $\boldsymbol{a} /\!/ \boldsymbol{b}　\Longleftrightarrow　\boldsymbol{b} = k \boldsymbol{a} となる実数 k が存在する　\Longleftrightarrow　a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ $\boldsymbol{0}$ でない２つのベクトル $\boldsymbol{a}$、 $\boldsymbol{b}$ のなす角が $\dfrac{\pi}{2}$ であるとき、$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ は垂直である(または「直交する」)といい、$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ と表します。ベクトルの内積でも述べましたが、ベクトルが垂直となる場合、内積は $0$ になるため、ベクトルの垂直条件は以下のようになります。 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}　\Longleftrightarrow　\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$

　以下の図の$O$ を原点とする座標平面上のベクトル $\overrightarrow {OA}$ を点$A$の位置ベクトルといいます。