行列は以下のように、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものです。 $\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$　　$\begin{pmatrix} a+1 & b+2 \\ c+3 & d+4 \end{pmatrix}$　　$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn } \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 行の数が $m$ で、列の数が $n$ である行列を $m × n$行列といいます。上の例の場合、左から（※お使いの環境によっては上から）順に $3 × 2$行列、$2 × 2$行列、$m × n$行列です。 行と列の数が等しい行列は正方行列といい、$m × m$行列の場合は $m$次の正方行列といいます。正方行列 $A = (a_{ij})$ において、$a_{ii}　(i = 1,2, \cdots, n)$ を対角成分といいます。$\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$ のように対角成分以外が０である行列を対角行列といい、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ のように対角成分がすべて１である対角行列を単位行列といいます。 行列の和は各成分同士を足し合わせたものであり、２つの行列を $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) \end{eqnarray}$、$\begin{eqnarray} B = \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ とすると、 $\begin{eqnarray} A + B = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ となります。行列の和には交換法則と結合法則が成り立ちます。

　$m × n$行列の行と列を入れ替えた $n × m$行列を転置行列といい、${}^t \! A$ と表します。以下に転置行列の例を示します。 $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ のとき、$\begin{eqnarray} {}^t \! A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = \left( \begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & c_{13} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ のとき、$\begin{eqnarray} {}^t \! C = \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{12} \\ c_{13} \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 以下に転置行列の性質を示します。 線形代数について、さらに詳しく学びたい方には、以下の本がおすすめです（楽天のサイトにとびます）。

　n次の正方行列 $A$ とn次の単位行列 $E$ に対して、$AX = XA = E$ となる正方行列 $X$ が存在するとき、この $X$ を $A$ の逆行列といい、$A$ を正則行列といいます。$A$ の逆行列が存在するとき、$A$は正則であるといいます。$A$ が正則なら、逆行列は１つしか存在しません。また、すべての行列が逆行列をもつわけではありません。$X$、$Y$ がともに $A$ の逆行列であるとすると、 $X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y$ となるので、$A$ の逆行列は１つに決まります。よって、$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と表します。上記の定義から $A^{-1} A = A A^{-1} = E$ となります。また、$A$ が正則ならば、逆行列 $A^{-1}$ も正則で $(A^{-1})^{-1} = A$ となります。 ２次の正方行列の逆行列には以下のような法則が成り立ちます。 では、２次の正方行列 $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{eqnarray}$ の逆行列を求めて、上記の法則が成り立つことを確かめてみましょう。 行列 $\begin{eqnarray} X = \left( \begin{array}{cc} q & r \\ s & t \end{array} \right) \end{eqnarray}$ が $AX = E$ を満たすとすると、 $\begin{eqnarray} AX = \left( \begin{array}{cc} aq + bs & ar + bt \\ cq + ds & cr + dt \end{array} \right) \end{eqnarray} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ ここで、各成分を比較すると、 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} aq + bs = 1 \cdots　①\\ cq + ds = 0 \cdots　② \end{array} \right. \end{eqnarray}$　　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ar + bt = 0 \cdots　③\\ cr + dt = 1 \cdots　④ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ ここから、$q, r, s, t$ を求めます。まず、左側の２つの式から $s$ を消すことを考えます。式②から $cq + ds = 0　\Longrightarrow　s = -\dfrac{c}{d} q$ この $s$ を式①に代入して $aq - \dfrac{bc}{d} q = (ad - bc)q = d$ よって、$(ad - bc) \neq 0$ のとき、$q = \dfrac{d}{ad - bc}$ です。同様のやり方で $r, s, t$ についても求めると、 $q = \dfrac{d}{ad - bc},　r = \dfrac{-b}{ad - bc},　s = \dfrac{-c}{ad - bc},　t = \dfrac{a}{ad - bc}$ となるので、 $\begin{eqnarray} X = \left( \begin{array}{cc} q & r \\ s & t \end{array} \right) \end{eqnarray} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ となることが分かりました。

　連立一次方程式は、行列を使って解くことが可能です。ここでは、掃き出し法（Row Reduction）を学んでみましょう。 掃き出し法は、ガウスの消去法（Gaussian Elimination）とも呼ばれます。手計算によって簡単に解くことができる程度の連立一次方程式問題では、掃き出し法はあまり有用ではありません。有限要素法(FEM)のように、大量の連立方程式をコンピュータで解くような場合にはこの考え方は必須です。 以下のような連立一次方程式を掃き出し法を使って解いてみましょう。 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y -5z = 3 \\ x - y + z = 0 \\ 3x - 6y +2z = -7 \end{array} \right. \end{eqnarray}$ 掃き出し法では、まず方程式の係数と右辺の値だけに着目して、行列を作ります。今回与えられた連立一次方程式を行列に置き換えると以下のようになります。 $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & -6 & 2 & -7 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ これを拡大係数行列といい、この拡大係数行列のうち、係数だけからなる行列 $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -6 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ を係数行列といいます。ここからは拡大係数行列を掃き出し法を使って解いていくのですが、目標は係数行列を最終的に $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{array} \right) \end{eqnarray}$ の形、つまり上三角行列にすることです。 まずは、1行目と2行目を入れ替えます。 $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -5 & 3 \\ 3 & -6 & 2 & -7 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 次に、$2行目 - 1行目 × -2$ と $3行目 + 1行目 × -3$ の操作を行います。 $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -7 & 3 \\ 0 & -3 & -1 & -7 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 次に、$3行目 + 2行目 × \dfrac{3}{5}$ の操作を行います。 $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -7 & 3 \\ 0 & 0 & -\dfrac{26}{5} & -\dfrac{26}{5} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 次に、$2行目 × \dfrac{1}{5}$ と $3行目 × (-\dfrac{5}{26})$ の操作を行います。 $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\dfrac{7}{5} & \dfrac{3}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ これで上三角行列になりました。これまでにやってきた操作を行基本変形といいます。 次に、上三角行列を連立方程式に戻します。 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x - y + z = 0 　　①\\ 　　y - \dfrac{7}{5} z = \dfrac{3}{5} 　　②\\ 　　　　z = 1　　③ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ 最後に、③の $z = 1$ を②に代入して $y = 2$、　$z = 1, y = 2$ を①に代入して $x = 1$ となります。

　行列$A$ に掃き出し法を行い、最終的に得られる行列の各成分を調べ、少なくとも１つ０でない成分がある行の個数は、掃き出し法のやり方に関係なく１つに定まります。この行の数を行列$A$ の階数（Rank）といいます。 行列 $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の階数を求めてみましょう。 n次の正方行列$A$ が正則であるためには、その階数が n に等しいことが必要十分条件となります。

　$(m, n)$型行列 $ \begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn } \end{array} \right) \end{eqnarray}$ に対して、行基本変形を行って階段行列を作ることができます。

　n個の未知数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}$ に対して、m個の方程式からなる連立一次方程式を考えます。 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + \cdots + a_{mn} x_{n} = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $m \lt n$ のとき、$m = n$ のとき、$m \gt n$ のときのいずれの場合においても、 $ x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 0$ (自明な解) であれば、この連立方程式は成り立ちます。 では、自明な解以外の解をもつときはどうでしょうか。調べてみましょう。