線形代数
このサイトを初めから呼んできた方は、ベクトルが空間を張ることはすでにご存じかと思います。 下の図は、2つのベクトル $$$a$$$ と $$$b$$$ が張る2次元平面です。
このとき、ベクトル $$$a$$$ と $$$b$$$ は並行でなく、$$$ \cap a ≠ 0 \cap b ≠ 0 $$$ になります。
これは、ベクトル $$$a$$$ と $$$b$$$ が 1次結合 だということです。つまり、ベクトル $$$p = sa + tb (s,tは実数)$$$ と表され、ベクトル $$$p$$$ はこの2次元平面を表します。
さらに、ベクトル $$$a$$$ と $$$b$$$ にベクトル $$$c$$$ を加えて、ベクトル $$$a$$$ と$$$b$$$ と $$$c$$$ は互いに並行でなく、$$$ \cap a ≠ 0 \cap b ≠ 0 \cap c ≠ 0 $$$ とすると、これも各ベクトルが1次結合だということを表します。ベクトル $$$p = sa + tb + uc (s,t,uは実数)$$$ とすると、ベクトル $$$p$$$ は下のように3次元平面を表します。
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線形空間(ベクトル空間)という言葉自体で、でなんとな～く線形空間というもののイメージができてる人もいるかもしれません。ベクトルが張る空間内の領域がベクトル空間だ！…と思っているかもしれません。 でも、ちょっと違うんです。 集合 $$$V$$$ が次のような和の公理とスカラー倍の公理を満たすとき、$$$V$$$ を実数全体 $$$R$$$ 上の線形空間（ベクトル空間）といいます。 ・和の公理 $$$ a, b, c \mathbb V $$$ に対して、下のような性質を満たす。 (1) $$$ a + b = b + a $$$ (交換法則) (2) $$$ (a + b) + c = a + (b + c) $$$ (結合法則) (3) $$$ \exists 0 \mathbb V , 0 + x = x + 0 $$$ (零元の存在) (4) $$$ \exists x \mathbb V , a + x = x + a = 0 , x = -a $$$ (逆元の存在) ・スカラー倍の公理 $$$ a \mathbb V , k \mathbb R $$$ に対して $$$ka (k：実数)$$$ が定義されているとき、下のような性質を満たす。 (5) $$$ 1a = a $$$ (6) $$$ k(a + b) = ka + kb $$$ (7) $$$ (k + l)a = ka + la (l：実数)$$$ (8) $$$ (kl)a = k(la) (l：実数) $$$