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行列の対角化

行列の対角化が理解できると、行列のn乗計算が簡単にできるようになります。 Follow @spacedirac

あるn次正方行列Aに対して、固有値と固有ベクトルを定義します。 $$$Ax = \lambda x$$$ を満たすn次元列ベクトルx(x≠0) と実数$$$\lambda$$$ が存在するとき、 $$$\lambda$$$ をAの固有値 ($$$\lambda$$$は正でも負でも0でもよい) $$$x$$$ を$$$\lambda$$$に対する固有ベクトル ($$$x$$$ 0を除く) といいます。 $$$Ax = \lambda x$$$ を変形して $$$→ Ax - \lambda x = 0$$$ $$$→ (A - \lambda E) x = 0$$$ $$$x≠0$$$ なので $$$(A - \lambda E) = 0$$$ この式をAの固有方程式といいます。 それでは、実際に正方行列 $$$ A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$$ から固有値、固有ベクトルを求めてみましょう。 最初に行列Aの固有値を求めます。 $$$Ax = \lambda x$$$ を変形して $$$→ Ax - \lambda x = 0$$$ $$$→ (A - \lambda E) x = 0 \cdots 式1$$$ ここで、 $$$ T = A - \lambda E = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {4 - \lambda} & -2 \\ 1 & {1 - \lambda} \end{bmatrix}$$$ とおきます。式1は自明な解(x=0)以外の解をもつので、 $$$ |T| = |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} $$$ $$$ 4-\lambda)(1-\lambda)+2 = 0 $$$ $$$ {\lambda}^2 -5 \lambda +6 = 0 $$$ $$$ (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 $$$ $$$ \lambda = 2, 3$$$
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