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微分や積分の手法を使って関数を調べる数学分野のことを「解析学」と呼びます。「ベクトル解析」というのは微積分を使ってベクトルに関連した性質を調べるもので、物理学と密接に関連しています。 ベクトルを微分すればベクトルの変化率が分かります。 Follow @spacedirac

ベクトル値関数

これまで学んできた関数 $$$f(x)$$$、$$$g(x)$$$などは スカラー値関数 といいます。 では、これからベクトル値関数を学ぶにあたって、ベクトル値関数がどのようなものであるかを知っておきましょう。 1変数ベクトル値関数は、$$$\mathit{p}(t) (t:独立変数)$$$ のように表されます。 座標空間の原点Oに関する位置ベクトル $$$\mathit{p}(t)$$$、速度ベクトル $$$\mathit{v}(t)$$$ は3次元ベクトル値関数であり、 $$$\mathit{p}(t) = [x(t), y(t),z(t)]$$$ と表されます。これで、時刻を $$$t1$$$ , $$$t2$$$ ,…と変化させたときの動点Pの移動の様子を下記のように表すことができます。 ベクトル解析 ここで動点Pの導関数 $$$f'(x)$$$ を $$$\displaystyle \lim_{ \delta t \to 0 } \frac{\delta \mathit{p}(t)}{\delta t} = \displaystyle \lim_{ \delta t \to 0 } \frac{\delta \mathit{p}(t + \delta t) - \delta \mathit{p}}{\delta t} = \frac{d \mathit{p}(t)}{dt}$$$ と表せます。 なので、$$$\mathit{p}(t)$$$ の各成分を $$$t$$$ で微分して、$$$\mathit{p}'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)]$$$ とすると、これは曲線C上の点Pにおける接線ベクトルになりますね。 単位接線ベクトルtは、$$$ \mathit{t} = \frac{\mathit{p'}(t)}{\| \mathit{p'}(t) \|$$$ となります。
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