数学なんて大好きだ


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微分や積分の手法を使って関数を調べる数学分野のことを「解析学」と呼びます。「ベクトル解析」というのは微積分を使ってベクトルに関連した性質を調べるもので、物理学と密接に関連しています。 ベクトルを微分すればベクトルの変化率が分かります。

ベクトル値関数

これまで学んできた関数f(x)、g(x)などはスカラー値関数といいます。 では、これからベクトル値関数を学ぶにあたって、ベクトル値関数がどのようなものであるかを知っておきましょう。1変数ベクトル値関数は、$$$\mathit{p}(t) (t:独立変数)$$$のように表されます。 座標空間の原点Oに関する位置ベクトル$$$\mathit{p}(t)$$$、速度ベクトル$$$\mathit{v}(t)$$$は3次元ベクトル値関数であり、 $$$\mathit{p}(t) = [x(t), y(t),z(t)]$$$ と表されます。これで、時刻をt1,t2,…と変化させたときの動点Pの移動の様子を下記のように表すことができます。 ベクトル解析 ここで動点Pの導関数f'(x)を$$$\displaystyle \lim_{ \delta t \to 0 } \frac{\delta \mathit{p}(t)}{\delta t} = \displaystyle \lim_{ \delta t \to 0 } \frac{\delta \mathit{p}(t + \delta t) - \delta \mathit{p}}{\delta t} = \frac{d \mathit{p}(t)}{dt}$$$と表せます。 なので、$$$\mathit{p}(t)$$$の各成分をtで微分して、$$$\mathit{p}'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)]$$$とすると、これは曲線C上の点Pにおける接線ベクトルになります。 単位接線ベクトルtは、$$$ \mathit{t} = \frac{\mathit{p'}(t)}{\| \mathit{p'}(t) \|$$$となります。