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確立

誰でも確率という言葉くらいは聞いたことがあるでしょう。 「宝くじってどれくらいの確率で当たるんだろう」 「明日はどのくらいの確率で雨が降るんだろう」 こんな風に確率という単語は日常生活のあらゆる場面でらわれますね。 Follow @spacedirac

確率と聞くと、多くの人が思い浮かべるのが、賭け事(ギャンブル)じゃないでしょうか。 パチスロ、ブラックジャック、ポーカー、バカラ… 賭け事が好きな人は多いようです。 しかし、歴史の中で長い間、賭け事は 経験 に基づく 勘 で行われてきました。 賭け事の世界に確率の考え方を持ち込んだのは、イタリアのカルダノという人です。 彼は 確からしさ(favourable) という考え方を持っていました。 そして、この確からしさを使って効率よくギャンブルに勝とうとしたのです。 現代ではあらゆる学問や研究において、客観的に仮定を評価するときに確立の考え方が使われています。

場合の数

確率を学ぶための基礎として、集合や場合の数についても知っていないとなりません。 ここでは,場合の数や集合の基礎を簡単にまとめたいと思います。 集合については 集合 の章も参考にしてください。 集合とは数学的には ある一定の条件を満たすものの集まり です。 例えば、2で割り切れる10以下の自然数の集合をAとおくと、集合Aは以下のように表されます。 $$$ A = \{n| n=2k (k=1,2,3,4,5) $$$ nはこの集合の 要素(元) です。 次に階乗や順列や組合せに数についても簡単にまとめておきます。 nの階乗はn個の異なるものを1列に並べる並べ方の総数です。 $$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 $$$ 順列はn個の異なるものから重複を許さず、r個を選び出し、それを1列に並べる並べ方の総数です。 $$${}_n \mathrm{ P }_r = \dfrac{n!}{(n-r)!} $$$ 重複順列はn個の異なるものから重複を許してr個を選び出し、それを1列に並べる並べ方の総数です。 $$$ n^r $$$ 組合せの数はn個の異なるものの中から重複を許さずにr個を選び出す選び方の総数です。 $$$ {}_n \mathrm{ C }_r = \dfrac{n!}{r! (n-r)!} $$$ 順列と組合せの数の関係は $$$ {}_n \mathrm{ C }_r = \dfrac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} $$$ となります。 組合せの数にはいくつかの基本公式がありますので、それを下にまとめます。 $$$ {}_n \mathrm{ C }_0 = {}_n \mathrm{ C }_n = 1 $$$ $$$ {}_n \mathrm{ C }_1 = n $$$ $$$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_n-r $$$ $$$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n-1 \mathrm{ C }_r-1 + {}_n-1 \mathrm{ C }_r $$$ $$$ r \cdot {}_n \mathrm{ C }_r = n \cdot {}_n-1 \mathrm{ C }_r-1 $$$ それでは1つ試してみましょう。 ある試行において、全事象をUとし、各根元事象は同様に確からしいとしましょう。 すると,この試行において,起こりうる全ての場合の数は,n() に等しく,事象 A の起こる場合の数は,A の要素の個数 n(A) に等しくなります。 したがって,P(A) は となります。 要するに,事象 A の要素の個数と,全事象 の要素の個数を求め,その比(分数の形ですが)を求めればよいということです。よって,確率の計算の中身は,今までの順列・組合せの考え方と同じだと思って下さい。それでは,一つ例を用いて説明することにしましょう。 それでは、赤玉3個,青玉2個入った袋から3個の玉を取り出すとき,赤玉1個と青玉2個である確率を求めてみましょう。 まず,全事象を  赤玉1個,青玉2個を取り出す事象を Bとします。すると,それぞれの事象の個数は, となります。したがって,袋の中から3個取り出したとき,赤玉1個,青玉2個である確率 P(B)は となります。
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