近年では、ビッグデータに注目が集まり、それに伴って統計学の重要性も高まってきています。私たちの周りには、数多くのデータがあります。しかし、データは何らかの処理を行って傾向を見たり、分類をしたり、手を加えないとその性質や意味を知ることができません。統計学とは、バラバラになっているデータ（母集団）から一部を抜き取って、その抜き取ったデータ（標本）の性質を調べることで、元の大きなデータの性質を推測したりするための方法論を体系化したものです。 統計は 記述統計 と 推測統計 に分けられます。 　記述統計では、母集団を特徴づける数値(平均や分散)をそのまま調べます。母集団が小さい場合には、全てのデータを調べ、整理し、表やグラフを使ってわかりやすく表すことができます。 　推測統計では、母集団から無作為にサンプル(標本)を抽出し、このサンプルを調べる事で元の母集団の分布を推測します。母集団が大きい場合、母集団全体をつぶさに調べるのが困難なことがあります。そのような場合には、推測統計を利用します。

　データ全体の性質を表す値として、平均値（mean, average）、中央値（median）最頻値（mode）等が挙げられます。 平均値 $\bar{x}$ すべての変量 $x_{i}$ を足し合わせたものを、データの個体数（サイズ） $n$ で割ったものです。以下のように表します。 $\bar{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i$ 中央値（median） 変量を小さい方から並べたときに、真ん中にくる値です。データサイズが奇数の場合は真ん中の値をとりますが、偶数の場合は真ん中の2つの数値の平均をとります。 最頻値（mode） 最も頻繁に出現する変量のことです。 統計学について、さらに詳しく学びたい方には、以下の本がおすすめです（楽天のサイトにとびます）。

　母集団が小さいときは、データを全て並べ、その平均や分散をそのまま調べることができます。 データのばらつきを表す指標として、分散と標準偏差があります。分散には、母集団のデータのばらつきを表す母分散と、母集団から取り出した標本のデータのばらつきを表す標本分散があります。 　まず、偏差について説明します。偏差とは、各変量 $x_{i}$ と平均 $\bar{x}$ の差 $(x_{i} - \bar{x})$ のことです。分散は、この偏差の２乗を足し合わせてデータサイズ $n$ で割ったものです。なぜ、偏差を２乗するのかというと、すべてのデータの偏差を単純に足し合わせてしまうと、その値は必ず $0$ になってしまうからです。偏差を２乗したもの $(x_{i} - \bar{x})^2$ を、偏差平方和、または変動といいます。 母分散 $\sigma^2$は、以下のような式で表されます。 　1変数データの場合は $x_{i}$ のみですが、2変数データの場合、$(x_{i}, y_{i})　(i = 1, 2, \cdots, n )$ なので $y_{i}$ が追加されます。式を見てもわかる通り、偏差の２乗を足し合わせてデータサイズで割っています。 母分散の定義式は、 $\sigma_{x}^2 = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_{i} - \bar{ x })^2$ なのですが、これが $\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i}^2 - \bar{ x }^2$ になることを確認してみましょう。 $\bar{ x }$ は定数なので $\sigma_{x}^2 = \dfrac{1}{n} (\displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i}^2 - 2 \bar{ x } \displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i} + \bar{ x }^2 \displaystyle \sum_{i=1}^n 1$) ここで $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i} = n \bar{ x }$ 、 $\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 = n$ なので よって、母分散の定義式が $\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i}^2 - \bar{ x }^2$ に変形できることが確認できました。実際の計算では、定義式よりこちらの式を使った方が簡単なことが多いです。

　標準偏差は、以下のような式で表されます。 　標準偏差は、分散の平方根をとったものになります。分散は、偏差を２乗してしまっているので、元のデータとは単位が異なります。そのため、平方根をとることで、本来のデータと同じ単位に合わせているのです。 　分散が大きいと、標準偏差も大きくなります。また、分散と同様に、データのばらつきが小さいと、標準偏差は $0$ に近づきます。

　2変数データの場合は、共分散という指標も重要です。共分散は、2つのデータに関係があるかどうか調べるときに使われます。共分散は、以下のような式で表されます。 上の式の中辺からわかる通り、共分散は、$x$ の偏差と $y$ の偏差をかけ合わせて、データサイズで割ったものであることが分かります。共分散には以下のような意味があります。 　共分散の定義式は、 $\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_{i} - \bar{ x })(y_{i} - \bar{ y })$ なのですが、これが $\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i} y_{i} - \bar{ x } \bar{ y }$ になることを確認してみましょう。 ここで $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i} = n \bar{ x }$ 、 $\displaystyle \sum_{i=1}^n y_{i} = n \bar{ y }$、 $\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 = n$ なので よって、母分散の定義式が $\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^n x_{i} y_{i} - \bar{ x } \bar{ y }$ に変形できることが確認できました。

　大きさ $n$ の母集団の2変数データ $x$ と $y$ の相関関係を数量的に表したものが 相関係数 $ρ_{xy}$ であり、以下のように定義されます。 　右辺の分母には平方根がついており必ず正の値となるので、分子の偏差の積和が相関係数 $\rho_{xy}$ の符号を決定する事が分かります。$\rho_{xy}$ が $-1$ から $1$ の範囲でどのような相関があるかは以下のように判断します。 また、正の相関でも、 $1$ に近づくほど正の相関が強く、負の相関でも、$-1$ に近づくほど負の相関が強くなります。 これらの指標の使い方を、以下のデータ整理の項で学んでみましょう。

　それでは、上で学んだ知識を使って、１つ問題を解いてみましょう。

問１　AからEの５人の生徒が数学と物理のテストを受けたところ、以下の表のような結果となった。 数学と物理のテストそれぞれの平均点、標準偏差と共分散を求めよ。また、数学と物理のテスト結果の相関係数を求めよ。

　統計では、同じような計算を何度も行うことが多いので、プログラムを用いるか、Excelやスプレッドシート等の表計算システムを使って結果の算出をするとよいです。 　今回はエクセルを使って、以下のように偏差や母分散、共分散を算出してみました。数学のテストの点数を $x_{i}$、物理のテストの点数を $y_{i}$ としています。 数学のテストの平均点 $\bar{x}$ は、$x_{i}$ の列の値をすべて足し合わせて、データサイズ（５人）で割ってやります。 物理のテストの平均点 $\bar{y}$ も、上と同様にして 次に、それぞれのテストの標準偏差を出すために、分散 $\sigma_{x}^2, \sigma_{y}^2$ を求めます。 分散の平方根をとって、標準偏差を求めます。 $\sigma_{x} = \sqrt{306.8} = 17.52$ $\sigma_{y} = \sqrt{250.4} = 15.82$ 相関係数 $\rho_{xy} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}$ を求めるためには、それぞれの標準偏差以外に、共分散 $\sigma_{xy}$ が必要です。 $x_{i}, y_{i}$ の分散と共分散が求まったので、相関係数を求めます。 $\rho_{xy} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x} \sigma_{y}} = \dfrac{222.6}{17.5 \cdot 15.8} = 0.803$