ラプラス変換
「まずはラプラス変換のイメージを掴みたい」という方は、先に -こちらのページ- をご覧になってください ラプラス変換はこのような式で表されます。 \[F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st} {f(t)dt}\] これは、$$$t≧0$$$ で定義された関数 $$$f(t)$$$ から無限積分を使って新しい関数 $$$F(s)$$$ を作る操作です。 関数 $$$f(t)$$$ をラプラス変換すると$$$F(s)$$$ になります。この関数 $$$F(s)$$$ のことを「関数 $$$f(t)$$$ のラプラス変換」と呼び、$$$\mathcal{L}(f(t))$$$ のように表記します。この $$$\mathcal{L}$$$ というのはラプラス(Laplace)の頭文字です。 -こちらのページ- をご覧になった方は、ラプラス変換が下のようなイメージで使われることがなんとなくわかっているかと思います。
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ラプラス変換表
ラプラス変換では、下にあるラプラス変換表が使えるようになることが最初のステップです。 基本的な関数のラプラス変換は、すでに優秀な先人たちが証明しており、変換ルールがまとめられています。証明方法を理解することも大切なのですが、中には証明が大変なものもあります。 ラプラス変換を学ぶ時にありがちなのが、各変換の証明方法を学ぶ途中で挫折するというもの。最初のうちは「優秀な先人が証明したものを、再証明する必要はない」と割り切ってラプラス変換表を覚え、何度も計算練習をした方がベターです。| \[f(t)\] | \[F(s)\] | \[条件\] |
|---|---|---|
| \[1\] | \[\frac{1}{s}\] | \[s>0\] |
| \[t^n\] | \[\frac{n!}{s^{n+1}}\] | \[s>0, n=0,1,2,\cdots\] |
| \[t^{\alpha}\] | \[\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}\] | \[\alpha>-1, s>0\] |
| \[e^{at}\] | \[\frac{1}{s-a}\] | \[s>a\] |
| \[\sin at\] | \[\frac{a}{{s^2}+{a^2}}\] | \[s>0\] |
| \[\cos at\] | \[\frac{s}{{s^2}+{a^2}}\] | \[s>0,\] |
| \[\sinh at\] | \[\frac{a}{{s^2}-{a^2}}\] | \[s>a,a≧0\] |
| \[\cosh at\] | \[\frac{s}{{s^2}-{a^2}}\] | \[s>0,a≧0\] |
それではラプラス変換表を使って簡単な計算練習をしてみましょう。 $$$ \mathcal{L}[3t^{-\frac{1}{2}}] $$$ 回答） $$$t$$$ の肩に乗っている指数が、分数になっているので $$$ \mathcal{L}[t^\alpha] = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} $$$ の変換を使います。 $$$ \mathcal{L}[3t^{-\frac{1}{2}}] $$$ $$$ = 3 \mathcal{L}[t^{-\frac{1}{2}}] $$$ $$$ = 3 \frac{\Gamma(-\frac{1}{2})}{s^{-\frac{1}{2} + 1}} $$$ $$$ = 3 \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{1}{2}}} $$$ $$$ = 3 \sqrt{\frac{\pi}{s}} $$$
ラプラス変換の性質
線形法則 $$$\mathcal{L}[{af(t)+bg(t)}] = a \mathcal{L}[f(t)] + b \mathcal{L}[g(t)] (s>max(\alpha1,\alpha2))$$$ 相似法則 $$$\mathcal{L}[{af(t)}] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) (s>\alpha{a})$$$ 第１移動法則 $$$\mathcal{L}[{e^{\lambda{t}}f(t)}] = F(s-\lambda) (s>a+\lambda)$$$ 第２移動法則 $$$\mathcal{L}[U(t-\lambda)f(t-\lambda)]=e^{\lambda{s}}F(s) (s>a)$$$ 微分法則 $$$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^n \mathcal{L}[f(t)]-s^{s-1}f(0)-\cdots-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) (s>\alpha)$$$ 積分法則 $$$\mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(u)du]=\frac{1}{s} \mathcal{L}[f(t)] (s>max(0,\alpha))$$$ $$$t$$$積法則 $$$\mathcal{L}[tf(t)]=-\frac{d}{ds}F(s) (s>\alpha)$$$ $$$t^n$$$ 積法則 $$$\mathcal{L}[t^{n}f(t)]=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s) (s>\alpha)(n-1,2,3,\cdots)$$$合成積のラプラス変換
$$$f(t)$$$ , $$$g(t)$$$ は$$$t≧0$$$で区分的に連続な関数とし、指数 $$$\alpha$$$ 位の関数とする。$$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s), \mathcal{L}[g(t)]=G(s)$$$ とするとき、 $$$\mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(u)du]=\frac{1}{s}\mathcal{L}[f(t)] (s>max(0,\alpha))$$$それではラプラスの性質を使って簡単な計算を行ってみましょう。