数学なんて大好きだ


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数学にはいろいろな証明方法がありますし、証明に使う道具も様々です。この章では、いくつかの証明方法をご紹介したいと思います。 でも、その前に基礎に触れておきましょう。 まずは、命題です。命題とは、”真偽の判断の対象となる文章または式(Wikipediaから引用)”です。真偽とは、真(正しい/true)と偽(間違い/false)のこと。 命題では、でPを仮定、Qを結論と定義して、このように表します。 命題 「5ならば整数である」「整数ならば実数である」というのが命題です。 では、「整数ならば10である」という命題は真でしょうか、偽でしょうか? これは…偽になります。1や2や1000や1928473も整数だからです。 「$$$x = 3$$$ならば$$$x^2 = 9$$$である」という命題は真でしょうか、偽でしょうか? これは…真になります。$$$x = 3$$$ならば、必ず$$$x^2 = 9$$$になるからです。 さて、命題には 逆 裏 対偶 というものがあります。これらの関係図を下に示してみました。 命題 命題 $$$P \Rightarrow Q$$$ に対して $$$Q \Rightarrow P$$$ は逆 $$$\overline{ P } \Rightarrow \overline{ Q }$$$ は裏 $$$\overline{ Q } \Rightarrow \overline{ P }$$$ は対偶 となります。 ちなみに、$$$Q \Rightarrow P$$$ を命題とすると、 $$$P \Rightarrow Q$$$ は逆 $$$\overline{ Q } \Rightarrow \overline{ P }$$$ は裏 $$$\overline{ P } \Rightarrow \overline{ Q }$$$ は対偶 になります。 感覚はつかめたでしょうか? ここで、先ほど例として出した命題「$$$x = 3$$$ならば$$$x^2 = 9$$$である」の 逆 裏 対偶 を確認してみましょう。 逆 「$$$x^2 = 9$$$ならば$$$x = 3$$$である」 これは偽。$$$x = -3$$$もあるからです。 裏 「$$$x = 3$$$でないならば$$$x^2 = 9$$$でない」 これは偽。$$$x = -3$$$もあるからです。 対偶 「$$$x^2 = 9$$$でないならば$$$x = 3$$$でない」 これは真。$$$x^2 \neq 9$$$ならば$$$x = \pm 3$$$であり、$$$x = 3$$$は必ず成り立つからです。 命題「整数ならば10である」の 逆 裏 対偶 も確認してみましょう。 逆「10ならば整数である」 裏「整数でないならば10でない」 対偶「10でないならば整数でない」 集合論のところは式で分からなければ 図で考えるようにすると 理解できることが多いです。 図を描いて考えることを心がけましょう。

対偶法

「AならばB」の真偽は「BでないならばAでない」と一致します。 対偶は同値でみたように、命題 p⇒qp⇒q と q ̄ ̄⇒p ̄ ̄ ̄q ̄⇒p ̄ は同値、すなわちこの2つの命題の真偽に関する意味は同じになるので、命題 p⇒qp⇒q を証明する代わりに、命題 q ̄ ̄⇒p ̄ ̄ ̄q ̄⇒p ̄ を証明してもいい。このようないいかえにより、証明する論法のことを対偶法 (contraposition) という。 ・等式の証明の方法 A=Bを証明するときは ①Aを変形するとBになる ②Bを変形するとAになる ③AもBも変形するとCになる ④A-B=0 これらのいずれかを証明します。 ・不等式の証明法 A≧Bを証明するときは ①A-B≧0 ②A≧C,C≧B これらのいずれかを証明します。 ・数学的帰納法 すべての自然数nについて nについての等式・不等式やnの式の条件を証明するには (i)n=1のとき条件が成り立つこと (ii)n=kのとき条件がなりたつと仮定すると n=k+1のときも条件が成り立つこと の二つを証明します。