数学なんて大好きだ


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円が方程式で表せるなら、楕円も方程式で表すことができます。楕円の方程式は \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] です。円と比べてもなかなか複雑な式になってきたましたね。この式を図に示します(a > b > 0とする)。 楕円 さあ、では円の方程式が楕円の方程式になっていくところをお見せしましょう! 中心C(0,0)の円の方程式は、$$$x^2 + y^2 = r^2$$$でした。この式の変数を少し変えて、$$$X^2 + Y^2 = a^2$$$とします。これは下の図のような円になります。この円をy方向に$$$\frac{b}{a}$$$ 倍すると楕円になります。 y方向に$$$\frac{b}{a}$$$ 倍するので、$$$y = \frac{b}{a}Y$$$、x方向は何もしないので$$$x = X$$$です。 これらを$$$X^2 + Y^2 = a^2$$$に代入して、 $$$x^2 + (\frac{a}{b}y)^2 = a^2$$$ $$$x^2 + \frac{a^2}{b^2}y^2 = a^2$$$ $$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$$$ 楕円の方程式が求まりましたね。y方向はそのままで、x方向を縮めてもこうなります。 実は、楕円は「2つの定点(焦点F,F')からの距離の和が一定になる動点の軌跡」なのです。下の図のように、動点P(x,y)をどこに動かしても$$$FP + F'P = 2a$$$になります。 楕円 なので、焦点F(c, 0) ,焦点 F’(-c, 0)とすると、動点P(x,y) の軌跡の方程式(楕円の方程式)は,次のようになります。 $$$FP + F'P = 2a$$$ この式を変形すると、 $$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt(x+c)^2+y^2 = 2a$$$ $$$\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2+y^2}$$$ 両辺を2乗して $$$(x-c)^2+y^2 = 4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$$$ 式を展開して $$$a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$$$ さらに両辺を2乗して $$$a^2 {(x+c)^2 + y^2} = a^4 + 2a^2 cx + c^2 x^2$$$ $$$a^2 x^2 + 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2 = a^4 + 2a^2 cx + c^2 x^2$$$ $$$(a^2 - c^2)x^2 + a^2 y^2 = a^4 + c^2 x^2$$$ 両辺を$$$(a^2 - c^2)a^2$$$で割り $$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1$$$ ここで、線分 AA’ を長軸,線分 BB’ を短軸ということを覚えておいてね。