数学なんて大好きだ


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ひまつぶし
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これまでに図形を媒介変数表示で表す方法を学んできましたたが、これを使って特殊な図形を表現してみましょう。 下の式が円を表すことは、これまでの章からすでに知っていますね。この式の$$$r$$$が円の半径を表すことも知っていると思います。 \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array}\right.\end{eqnarray} さて、この半径$$$r$$$が、$$$\theta$$$の関数として変動する($$$\theta$$$:媒介変数)と、どのような軌跡を描くでしょう。下の式を見てみてください。 \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x = e^{\theta} \cos \theta \\ y = e^{\theta} \sin \theta \end{array}\right.\end{eqnarray} この式と円の媒介変数表示の式をよく見比べてみると、$$$r = e^{\theta}$$$になっているのがわかるでしょう。rは一定の定数ですが、$$$e^{\theta}$$$は θの値によって変化します。$$$\theta$$$がだんだん大きくなっていく($$$\theta : 0 \leqq \theta \leqq 2\pi $$$)とき、$$$e^{\theta}$$$もだんだん大きくなっていきますね。 つまり、回転するたびに半径がだんだん大きくなっていきます。この式は「らせん」を表します。それでは図に示してみましょう。 ちなみに、$$$r = e^{-\theta}$$$のときはだんだん半径が小さくなりながら、回転していきますね。
次に、サイクロイド曲線の媒介変数表示($$$\theta$$$:媒介変数、$$$a$$$:正の定数)と図を見てみましょう。 \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x = a (\theta - \sin \theta) \\ y = a (1 - \cos \theta) \end{array}\right.\end{eqnarray} 「サイクロイド曲線」なんて名前、いかにも難しそうですよね。サイクロイド曲線は、下の図のように円を転がした時の円周上の1点が動く軌跡なんです。
次に、アステロイド曲線の媒介変数表示と図を見てみましょう。 \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x = a \cos^3 \theta \\ y = a \sin^3 \theta \end{array}\right.\end{eqnarray}